高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算课时跟踪训练 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

5夹角的计算[A组基础巩固]1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A.B.C.D.解析：如图所示，建立空间直角坐标系B－xyz.由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，则B(0,0,0)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)．∴EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴cos〈EF，BC1〉＝＝＝，∴异面直线EF和BC1的夹角为，故选C.答案：C2．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的方向向量为a＝(－2，－3,3)，则直线l与平面α夹角的余弦值为()A．－B.C．－D.解析： cos〈a，n〉＝＝＝，∴直线l与平面α夹角的正弦值为，余弦值为＝.答案：D3．若两个平面的法向量分别为(－5，12,0)和(0，－5,12)，则这两个平面的二面角的余弦值为()A．－B.C．±D．±解析：由及两个平面的二面角的范围为[0，π]，可知这两个平面的二面角的余弦值为±.答案：D4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()1A.B.C.D.解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0，2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量AB1＝(－2,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1，BC1〉＝＝＝.答案：A5．如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为()A.B.C.D.解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，OC＝，易知OC为平面BDF的一个法向量，由BC＝，FB＝，设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，则y＝，z＝，所以平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.故二面角C－BF－D的正切值为.答案：D6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________．解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设B(2,0,0)，则E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)．所以EF＝(1,2,1)，A1C1＝(2,2,0)．cos〈EF，A1C1〉＝＝，所以〈EF，A1C1〉＝30°，即异面直线EF与A1C1所成的角为30°.答案：30°7．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________．解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为sinθ＝＝.2答案：8.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为__________．解析：取BC的中点E，连接OE，以O为坐标原点，射线OA，OE，OP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，则O(0,0,0)，B(1,2,0)，C(－1,2,0)，P(0,0,2)，∴M.因此BM＝，OP＝(0,0,2)，OC＝(－1,2,0)．设平面PCO的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，取n＝(2,1,0)，因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值为|cos〈BM，n〉|＝＝.答案：9.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值．解析：解法一 AM＝AA1＋A1M，CN＝CB＋BN，∴AM·CN＝(AA1＋A1M)·(CB＋BN)＝AA1·BN＝，而|AM|＝＝＝＝.同理，|CN|＝，设直线AM与CN所成的角为α，则cosα＝＝＝.即AM与CN所成角的余弦值为.解法二如图，建立空间直角坐标系，把D点视作原点O，分别沿DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴的正方向．则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，∴AM＝(1，，1)－(1,0,0)＝(0，，1)，CN＝(1,1，)－(0,1,0)＝(1,0，)．故AM·CN＝0×1＋×0＋1×＝，|AM|＝＝，|CN|＝＝.∴cosα＝＝＝.即AM与CN所成角的余弦值为.310.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)求证：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．解析：(1)证明：依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0...