高中数学 课时跟踪检测（九）简单复合函数的求导法则 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（九）简单复合函数的求导法则一、基本能力达标1．下列函数不是复合函数的是()A．y＝－x3－＋1B．y＝cosC．y＝D．y＝(2x＋3)4解析：选AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.2．函数y＝(2019－8x)8的导数为()A．y′＝8(2019－8x)7B．y′＝－64xC．y′＝64(8x－2019)7D．y′＝64(2019－8x)7解析：选Cy′＝8(2019－8x)7·(2019－8x)′＝－64(2019－8x)7＝64(8x－2019)7.3．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x解析：选By′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mmB．400mmC.mm/minD.mm/min解析：选Df′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝.5．函数f(x)＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2.答案：26．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，所以x0＋1＝ln(x0＋a)．①对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，则＝1，即x0＋a＝1.②②代入①可得x0＝－1，所以a＝2.答案：27．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝x平行，则a＝________.解析：f′(x)＝a－，1由题意得f′(1)＝，即a－＝，所以a＝1.答案：18．求下列函数的导数．(1)y＝(2x2－x＋1)4；(2)y＝x；(3)y＝xln(1－x)．解：(1)y′＝4(2x2－x＋1)3(2x2－x＋1)′＝4(2x2－x＋1)3·(4x－1)．(2)y′＝＋x[(1＋x2)]′＝＋x··(1＋x2)－(1＋x2)′＝＋x··(1＋x2)－·2x＝＋＝.(3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′＝ln(1－x)＋x·＝ln(1－x)－.二、综合能力提升1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是()A.B．2C．3D．0解析：选A设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′x＝x0＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克解析：选DM′(t)＝－ln2×M02－，由M′(30)＝－ln2×M02－＝－10ln2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)．3．函数y＝ln在x＝0处的导数为________．解析：y＝ln＝lnex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.答案：4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.2解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.答案：25．求函数y＝asin＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．解：∵′＝acos·′＝cos，又(cos22x)′＝′＝(－sin4x)×4＝－2sin4x，∴y＝asin＋bcos22x的导数为y′＝′＋b(cos22x)′＝cos－2bsin4x.6．曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．解：由题意知y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋3(－sin3x)·e2x＝2e2xcos3x－3e2xsin3x，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.所以该切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.设l的方程为y＝2x＋m，则d＝＝.解得m＝－4或m＝6.当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4;当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.3