2.7.2抛物线的几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2√3,则点P到抛物线的焦点F的距离为()A.4B.5C.6D.7解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, 抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2√3,则P(3,±2√3),∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.答案A2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析 直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案C3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2√2,则点A到抛物线的准线的距离为()A.12B.32C.2D.52解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12, AB垂直于x轴,|AB|=2√2,A到y轴的距离为√2,假设A在y轴上侧,即y=√2,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.答案B4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12|AB|C.|PP1|>12|AB|D.|PP1|<12|AB|解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.答案B5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()A.2√3B.4C.6D.4√3解析由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.设P(m24,m),则M(-1,m),等边三角形边长为1+m24,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+m24=√(1+1)2+m2,得m=±2√3,∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,故选D.答案D6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是.解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其值为3.答案37.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23−y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.解析抛物线的焦点坐标F(0,p2),准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23−y23=1得|x|=√3+p24.要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=√3+p24p=√33,解得p2=36,p=6.答案68.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M(0,-p2), |AF|=3,∴y0+p2=3, |AM|=√17,∴x02+(y0+p2)2=17,∴x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p(3-p2),解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.(1)求p的值;(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√2·√(x1-x2)2=√2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2×√32=8.能力提升练1.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且⃗FA=3⃗FB,则|AB|=()A.23B.43C.83D.163解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n), ⃗FA=3⃗FB,∴m+12=23,∴m+1=43,AB=83.答案C2.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有()A.1个B.2个C.0个D.无数个解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F(12,0),由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.答案B3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则1k1+1k2的取值范围是()A.[-2,-√2]∪[√2,2]B.[-√2,-1]∪[1,√2]C.[-2,-1]∪[1,2]D.[-√2,√2]解析对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+p2,与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,设A(y122p,y1),B(y222p,y2),故y1+y2=2pm,则1k1+1k2=y122p·1y1+y222p·1y2=2pm2p=m=1k,其中k为直线AB的斜...
