高中数学 4.4 参数方程 4.4.3 参数方程的应用同步测控 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题VIP免费

4.4.3参数方程的应用同步测控我夯基,我达标1.已知动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0（a、b是正常数，且a≠b，θ为参数,θ∈［0,2π)），则圆心的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线的一部分D．椭圆解析：把圆的方程化为标准方程：(x-acosθ)2+(y-bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ，其圆心坐标为（acosθ,bsinθ），于是动圆圆心的轨迹方程为.sin,cosbyax消去参数θ,可得2222byax＝1，轨迹为椭圆．答案：D2.直线tytx2333,211(t为参数）和圆x2+y2=16交于A、B两点，则AB的中点坐标为（）A．(3,-3)B．(-3,3)C．(3,-3)D．(3,-3)解析：(1+21t)2+(-33+23t)2=16，得t2-8t+12=0.∴t1+t2=8,221tt=4，中点为,42333,4211yx即.3,3yx答案：D3.过点（1，1），倾斜角为135°的直线截椭圆1422yx所得的弦长为（）A.522B.524C.2D.523解析：由题意，可设直线的参数方程为,1,1tytx代入椭圆方程中，整理得到5t2+6t＋1＝0，|t1-t2|=54514)56(4)(221221tttt，故所求弦长为2|t1-t2|=524．答案：B4.抛物线x2-2y-2mx+m2＋２＝6m的顶点的轨迹方程是_______________．1解析：抛物线方程可化为(x-m)2=2(y+3m-1)，设其顶点坐标为(x,y)，则满足,13,mymx消去参数m，可得y=-3x+1，即3x+y－１＝0．答案：3x+y－１＝05.求椭圆1162522yx的内接矩形的最大面积．思路分析：恰当选择参变量，把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解．解法一：椭圆的参数方程为tytxsin4,cos5(参数t∈［0,2π)),设第一象限内椭圆上一点M(x,y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t．当t=4时，面积S取得最大值40．此时x=5cos4=225,y=4sin4=22．因此，矩形在第一象限的顶点为（252,22）时,内接矩形的面积最大为40．解法二：设点M(x,y)是椭圆上第一象限内的点，则162522yx=1，且x＞０，y＞０,即１＝(5x)2+(4y)2≥2×5x×4y，∴xy≤10，当且仅当45yx时取等号．由椭圆的对称性知内接矩形的面积为S=4xy≤40，也就是内接矩形的面积的最大值为40．6.求椭圆1812522yx上的点到直线3x+4y－64＝０的最大、最小距离．思路分析：利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．解：将椭圆普通方程化为参数方程sin9,cos5yx（０≤θ<2π）,则椭圆上任一点P的坐标可设为P(5cosθ,9sinθ)，于是点到直线3x+4y－６４＝０的距离为5|64sin94cos53|d5|64)sin(39|,其中tanφ=125,∴dmax=5103，此时sin(θ+φ)＝－１；dmin＝５，此时sin(θ+φ)＝１．7.如图，已知点P是圆x2+y2＝16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）,当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？2思路分析：由于点M为线段PA的中点，点A的坐标已知，点P在已知圆上，故而点P的坐标可以用参数θ表示，所以点M的坐标也就可以表示了，由此便可以求出线段PA的中点M的轨迹方程，进而知道其轨迹．解：设点M的坐标为(x,y)．由于圆的参数方程为sin4,cos4yx(参数θ∈［0,2π))，故可设点P的坐标为(4cosθ,4sinθ)．由线段中点的坐标公式,得点M的轨迹参数方程为sin2,cos26yx(参数θ∈［0,2π)).∴线段PA的中点的轨迹是以点（６，０）为圆心、２为半径的圆．我综合,我发展8.已知A、B分别是椭圆193622yx的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．思路分析：△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．解：由题意知A（6,0)、B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为（6cosθ,3sinθ），点G的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得,3sin330,3cos606yx即.sin1,cos22yx消去参数θ得到4)2(2x+(y-1)2＝1.9.过点P(210,0)作倾斜角为α的直线与曲线x2+12y2=1交于点M、N，求|PM|·|P...