初高中数学衔接知识(二次函数)VIP免费

2025年1月28日2025年1月28日二次函数是初中函数的主要内容.也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道二次函数在自变量取任意实数时的最值情况.本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题.2(0)yaxbxcax2025年1月28日一、二次函数的图像和性质2(0)yaxbxca（1）当0a时，函数2yaxbxc图象开口向上，顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线2bxa.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当2bxa时，函数取最小值244acbya．今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题．（2）当0a时，函数2yaxbxc图象开口向下，顶点坐标为2424(,)bacbaa，对称轴为直线2bxa.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当2bxa时，函数取最大值244acbya．2025年1月28日一、二次函数的图像和性质2(0)yaxbxca【例1】请您求出二次函数2361yxx的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象．解：∵22361314()yxxx.∴函数图象的开口向下，对称轴方程1x，顶点坐标为(－1，4)，当1x时，4maxy.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小(如图).2025年1月28日1．一般式：2(0)yaxbxca.2．顶点式：)0()(2akhxay，顶点坐标是),(kh．3．交点式：12()()(0)yaxxxxa，其中1x，2x是二次函数图象与x轴交点的横坐标．【例2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【例3】已知二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线1yx上，并且图象经过点（3，－1），求此二次函数的解析式．解：设该二次函数为2(0)yaxbxca．由条件得2228124288abcacbabcc.所求的二次函数为22128yxx．解：由条件易知顶点坐标是（1，2），设该二次函数的解析式为2(2)1(0)yaxa，∵图像经过点（3，－1），∴21(32)12aa．∴二次函数的解析式为22(2)1yx，即2287yxx．二、二次函数的三种表示方式2025年1月28日二、二次函数的三种表示方式【例4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．解：法一∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为(3)(1)(0)yaxxa，即223yaxaxa.顶点的纵坐标为2212444aaaa，∵二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，∴1|4|22aa．∴二次函数的表达式为21322yxx或21322yxx．解：法二∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线1x．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2或－2．∴可设二次函数为2(1)2yax或2(1)2yax.∵函数图象过点(1，0)，∴12a．∴二次函数的表达式为21322yxx或21322yxx．说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？2025年1月28日三、二次函数的最值问题【例5】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．【例6】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x时，max1y，当2x时，min5y．2025年1月28日三、二次函数的最值问题由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：