高中数学 课时跟踪检测（十一）函数的极值（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（十一）函数的极值1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.2．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为()A．0,1，－1B.C．－D.，－解析：选B由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当00D．b<解析：选Af′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴00，即f′(x)<0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．答案：36．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；1当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；(2)f(x)＝x3ex.解：(1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，∴f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5.(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：x(－∞，－3)－3(－3,0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)极小值无极值由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．8．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．解：∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝时，函数取得极大值f＝；当x＝时，函数取得极小值f＝0.(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝时，函数取得极大值f＝0；2当x＝时，函数取得极小值f()＝.综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝，在x＝处取得极小值f＝0；当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f＝0，在x＝处取得极小值f＝.3