第3章322知能优化训练VIP免费

1．设f(x)＝－，则f′(1)等于________．解析：f(x)＝x－－x－，f′(x)＝－x－＋x－，所以f′(1)＝－＋＝.答案：2．若y＝2x3＋＋cosx，则y′等于________．解析：y＝2x3＋x＋cosx，y′＝6x2＋x－－sinx.应注意的是(cosx)′＝－sinx，切不要忘掉负号．答案：6x2＋x－sinx3．(2011年深圳模拟)函数f(x)＝的导数是________．答案：4．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＋b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，∴f′(0)＝－b，f′()＝a－bcos＝a－，∴解得∴a＋b＝－1.答案：－1一、填空题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．解析：法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.∴y′|x＝1＝4.法二：∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x2－1)(x＋1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝(x3)′＋(x2)′－(x)′－(1)′＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.答案：42．若f(x)＝lnx＋10x，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝＋10xln10，f′(－1)＝－1＋ln10.答案：－1＋3．(2011年苏州模拟)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.答案：－44．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．解析：y′＝－，令y′＝，即－＝，解得：x＝3或x＝－2(舍去)，∴切点为(3，－3ln3)．答案：(3，－3ln3)5．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，切线斜率最小，最小斜率为3，此时y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，故切点为(－1，－14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝06．已知f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝________.解析：设(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＝g(x)，则f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x)＝g(x)＋(x－1)g′(x)，∴f′(1)＝g(1)＝24.答案：247．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′()·sinx＋cosx，∴f′()＝－f′·sin＋cos⇒f′＝－1，故f＝f′()cos＋sin⇒f＝1.答案：18．曲线f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：∵f′(x)＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2，∴f′(0)＝3.∴函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.答案：y＝3x＋1二、解答题9．求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)＝x·tanx－；(3)f(x)＝.解：(1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(2)f′(x)＝′＝′＝＝＝＝tanx＋－.(3)f′(x)＝′＝′＋′＝＋＝＝.10．(2011年西安高二检测)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)．解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.于是有由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c，③由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④∴由①③可得a＝c＝2，由④得b＝－5，再由②得d＝－，∴g(x)＝x2＋2x－.故g(4)＝16＋8－＝.11．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．解：设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x－4.②∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0，∴直线方程为y＝0或y＝4x－4.