2.5夹角的计算[A.基础达标]1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角θ为()A．30°B．45°C．135°D．150°解析：选B.因为cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝135°，故l与α所成的角θ为45°.2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A．45°B．30°C．90°D．60°解析：选D.设AD＝a，AB＝b，AF＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1.AC＝AB＋AD＝a＋b，BF＝BA＋AF＝－b＋c.AC·BF＝(a＋b)·(c－b)＝－b2＝|AC||BF|cos〈AC，BF〉．所以cos〈AC，BF〉＝－，故AC与BF所成的角为60°.3．正四棱锥SABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选C.设平面ABCD的中心为O，以OA，OB，OS为x，y，z轴正向建立坐标系，A(，0，0)，C(－，0，0)，S(0，0，)，B(0，，0)，SB＝(0，，－)，BC＝(－，－，0)，AC＝(－2，0，0)，设n＝(x，y，z)为平面SBC的法向量，由n⊥SB，n⊥BC得y＝z＝－x，可取n＝(1，－1，－1)，cos〈AC，n〉＝＝－.故AC与平面SBC所成角的正弦值为|cos〈AC，n〉|＝.4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：选A.取AC中点为D，连接BD，得BD为平面ACC1A1的法向量，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则AB1＝AB＋BB1＝a＋c，BD＝BA＋AD＝－a＋b，cos〈AB1，BD〉＝＝－，故AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为|cos〈AB1，BD〉|＝.5．已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60°，则二面角APBC的余弦值为()A.B.C.D.解析：选A.在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PD＝PE＝PF，可知三棱锥DPEF为正四面体，取PE中点H，连接DH，FH，得∠DHF为二面角APBC的平面角，设PF＝a，PE＝b，PD＝c，则HD＝HP＋PD＝－b＋c，HF＝HP＋PF＝－b＋a，cos〈HD，HF〉＝＝.6．在空间中，已知二面角αlβ的大小为，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则〈n1，n2〉的大小为________．解析：因二面角αlβ的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角．当二面角αlβ的大小为时，则〈n1，n2〉的大小为π或π－.答案：或7．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．解析：建立如图坐标系，D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(0，1，2)，N(0，2，1)，DB＝(2，2，0)，DM＝(0，1，2)，B1N＝(－2，0，－1)，设n＝(x，y，z)为平面BDM的法向量，由n·DB＝0，n·DM＝0，得y＝1－x＝－2z，可令n＝(2，－2，1)，cos〈n，B1N〉＝＝－，故B1N与平面BDM所成角的正弦值为|cos〈n，B1N〉|＝.答案：8.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．解析：法一：()2·AA1＝，得AA1＝.易得∠APA1是PA与平面ABC所成角，A1P＝××＝1，tan∠APA1＝＝＝，故∠APA1＝.法二：令A1C1＝a，A1B1＝b，A1A＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝，PA1＝－A1P＝－(a＋b)，PA＝PA1＋A1A＝－a－b＋c，|PA1|＝＝1，|PA|＝＝2，cos〈PA1，PA〉＝＝，故PA与平面ABC所成角的大小为.答案：9.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，D为AB中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．解：(1)证明：连接AC1交A1C于O点，则DO为△ABC1的中位线，故DO∥BC1，又DO平面A1CD，BC1⃘平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，0)，设平面A1DC的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝1得n＝(1，－1，－1)．设直线AA1与平面A1CD所成角为α，则sinα＝|cos〈AA1，n〉|＝＝.10．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥EF；(2)若AF＝1，且二面角BEFC的大小为30°，求CE的长．解：(1)证明：连接AC，因为AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD.所以AF∥CE，所以四边形ACEF在同一平面内，因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，又因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为AF∩AC＝A，所以BD⊥平面ACEF，所...
