高中数学电子题库第四章§1函数的单调性与极值1.2北师大版选修1-1(2012·南阳测试)函数f(x)＝x3－x2＋x＋a的极值点有()A．0个B．1个C．2个D．与a的取值有关解析：选A.f′(x)＝x2－2x＋1，显然f′(x)＝(x－1)2≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增，故函数无极值点．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A．a＝－2，b＝4B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝－4解析：选B.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有－2和4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．解析：f′(x)＝＝，因为函数f(x)在x＝1处取极值，所以f′(1)＝＝0，解得a＝3.答案：3(2012·赣州调研)若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.答案：－19[A级基础达标]设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－D．a＜－解析：选A.y′＝ex＋a，令y′＝0得ex＝－a，即x＝ln(－a)＞0，则－a＞1，所以a＜－1.故选A.已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间可以是()A．(2，3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)1D．(－∞，3)解析：选B.因为函数y＝2x3＋ax2＋36x－24是可导函数，且在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15，这时，f′(x)＝6x2－30x＋36，再令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以该函数的递增区间是(3，＋∞)和(－∞，2)，故选B.三次函数f(x)当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数图像过原点，则此函数解析式是()A．f(x)＝x3＋6x2＋9xB．f(x)＝x3－6x2＋9xC．f(x)＝x3－6x2－9xD．f(x)＝x3＋6x2－9x解析：选B.设三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因为f(x)的图像过原点，所以d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由题意知x＝1和x＝3为f′(x)＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系有所以又f(1)＝4，即a＋b＋c＝4，所以所以f(x)＝x3－6x2＋9x，故选B.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.答案：a＞2或a＜－1当a∈________时，函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)没有极值点．解析：由已知可得f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f′(x)＝0即x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0中，有Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a≤0，解之得0≤a≤4.答案：[0，4](2012·亳州质检)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，求实数b的取值范围．解：f′(x)＝3x2－6b， f(x)在(0，1)内有极小值，∴f′(x)在(0，1)内有零点．又 f′(x)＝3x2－6b在(0，1)上为增函数，∴解得0＜b＜.[B级能力提升]若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()A.B．－C．－ln2D．ln2解析：选B.y′＝x·2x·ln2＋2x＝2x(x·ln2＋1)．令y′＝0，解得x＝－.2设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)解析：选C.易知f′(－2)＝0，f′(2)＝0，当x∈(－∞，－2)时，由图可知x·f′(x)＜0，∴f′(x)＞0，即当x∈(－∞，－2)时f(x)递增．当x∈(－2，0)时，由图可知x·f′(x)＞0，∴f′(x)＜0；当x∈(0，2)时，由图可知x·f′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故当x∈(－2，2)时f(x)递减．当x∈(2，＋∞)时，由图可知x·f′(x)＞0，∴f′(x)＞0，即当x∈(2，＋∞)时f(x)递增．故f(x)的极大值与极小值分别是f(－2)与f(2)．(2012·杨凌测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由下列结论正确的是________．①－是方程f′(x)＝0的根；②1是方程f′(x)＝0的...
