第二章空间向量与立体几何(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解析：选A. BD＝BC＋CD＝2(a＋2b)＝2AB，B为公共点，∴A、B、D三点共线．2．化简PM－PN＋MN所得的结果是()A.PMB．NPC．0D．MN解析：选C.PM－PN＋MN＝NM＋MN＝0.3．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是()A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC解析：选C.对于选项A，由结论OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC共面；对于B，D选项，易知MA，MB，MC共面，故只有选项C中MA，MB，MC不共面．4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若AC1＝xAB＋2yBC＋3zC1C，则x＋y＋z等于()A．1B．C.D．解析：选B.在平行六面体中，AC1＝xAB＋2yBC＋3zC1C＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC－C1C.比较系数知x＝1，y＝，z＝－，∴x＋y＋z＝.5．已知两个平面的一个法向量分别是m＝(1，2，－1)，n＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为()A．－B．C．－或D．－或解析：选C.cos〈m，n〉＝＝＝－，由于两平面所成角的二面角与〈m，n〉相等或互补．故选C.6．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为()A.B．C．4D．8解析：选A.cos〈a，b〉＝＝＝，sin〈a，b〉＝＝，∴S＝|a||b|sin〈a，b〉＝9×＝.7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面B1BCC1的位置关系是()1A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，C1D1＝(0，a，0)为平面B1BCC1的一个法向量，M(a，a，a)，N(a，a，a)，MN＝(－a，0，a)，由于C1D1·MN＝0，且MN⃘平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则AD·AC的值等于()A．0B．C．4D．－解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得，|AC|2＝42＋42－2×4×4cos30°＝32－16，∴|AC|＝2(－)，cos∠CAD＝cos〈AD，AC〉＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝，又AD＝AB＝2，∴AD·AC＝|AD||AC|cos〈AD，AC〉＝4(－)×＝4，故选C.9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A.B．C.D．解析：选C.以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)．∴DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0)，BC1＝(－1，0，1)．设n＝(x，y，z)是平面DA1B的一个法向量，2则即∴x＝－y＝－z.令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．设直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BC1〉|＝＝＝.10．四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为()A．1B．C.D．解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，设AC与BD的交点为O， |PB|＝|PD|，∴PO⊥BD，又O(1，1，0)，∴P点到BD的距离为|PO|＝＝，又EF綊BD，∴P到EF的距离为.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________．解析：λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ＞0，解得λ＝3.答案：312．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于________．解析：AB＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，所以|AB|＝＝＝，当x＝时，|AB|取得最小值．答案：13．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．解析：a·b＝－3－2(x－1)－3＝－2x－4，由题意知cos〈a，b〉∈(－1，0)，即－1≠＜0，解之得x＞－2且x≠.答案：(－2，)∪(，＋∞)14．在三棱柱ABCA1B1C1中，各侧面均为正方...
