第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题课后篇巩固提升基础达标练1.若O为坐标原点,⃗OA=(1,1,-2),⃗OB=(3,2,8),⃗OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.√1652B.2√14C.√53D.√532解析 ⃗OP=12¿)=12(4,3,6)=(2,32,3),⃗OC=(0,1,0),∴⃗PC=⃗OC−⃗OP=(-2,-12,-3),∴|⃗PC|=√4+14+9=√532.答案D2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为()A.10B.3C.83D.103解析由题意可知⃗PA=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h,则h=|⃗PA·n||n|=|-2-4-4|√4+4+1=103.答案D3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.√6a6B.√3a6C.√3a4D.√6a3解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),M(a,0,a2),B(a,a,0),A1(a,0,a),∴⃗DM=(a,0,a2),⃗DB=(a,a,0),⃗DA1=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗DM=0,n·⃗DB=0,即{ax+a2z=0,ax+ay=0,令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD的距离d=|⃗DA1·n||n|=|a-2a|√6=√66a.答案A4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴⃗PB=(3,0,-1),⃗BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离d=√|⃗PB|2-|⃗PB·⃗BD|⃗BD||2=√10-(-95)2=135,∴点P到直线BD的距离为135.答案1355.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=√3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,√3),B1(0,1,√3),C1(0,0,√3),∴⃗A1B=(-1,1,-√3),⃗A1C=(-1,0,-√3),⃗A1B1=(-1,1,0).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗A1B=0,n·⃗A1C=0,即{-x+y-√3z=0,-x-√3z=0.令z=1得x=-√3,y=0,∴n=(-√3,0,1).∴点B1到平面A1BC的距离d=|n·⃗A1B1||n|=√32.答案√326.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),⃗A1B=(0,1,-1),⃗A1D=(-1,0,-1),⃗A1D1=(-1,0,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗A1B=0,n·⃗A1D=0⇒{y-z=0,-x-z=0.令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),∴点D1到平面A1BD的距离d=|⃗A1D1·n||n|=1√3=√33.易证平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为√33.7.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解(1)建立以D为坐标原点,⃗DA,⃗DC,⃗DP分别为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),所以⃗EF=(-12,12,0),⃗PE=(1,12,-1),⃗DE=(1,12,0),设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则{n·⃗EF=0,n·⃗PE=0,即{-12x+12y=0,x+12y-z=0.令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|⃗DE·n||n|=|2+1|√4+4+9=3√1717,因此点D到平面PEF的距离为3√1717.(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.因为⃗AE=(0,12,0),所以点A到平面PEF的距离d=|⃗AE·n||n|=1√17=√1717.所以直线AC到平面PEF的距离为√1717.能力提升练1.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.√1010B.2√1111C.35D.1解析以C为坐标原点,⃗CD所在直线为x轴,⃗CB所在直线为y轴,⃗CG所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴⃗BE=(2,0,0),⃗FE=(-2,2,0),⃗EG=(-2,-4,2).设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则{m·⃗FE=0,m·⃗EG=0,即{-2x+2y=0,-2x-4y+2z=0.令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),∴点B到平面EFG的距离d=|⃗BE·m||m|=2√1111.答案B2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G...
