3.2复数的四则运算[A基础达标]1．已知复数z1＝－2－i，z2＝i，i是虚数单位，则复数z1－2z2＝()A．－1＋2iB．1－2iC．1＋2iD．－2－3i解析：选D．因为z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－2z2＝－2－i－2i＝－2－3i.2．设a，b∈R，z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析：选D．由得所以a＋bi＝－2－i.3．复数z＝i(1＋i)2(i为虚数单位)的共轭复数是()A．－2B．2C．2iD．－2i解析：选A．因为z＝i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i·2i＝－2，所以z＝－2.4．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝()A．－2B．－C．D．2解析：选D．因为(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i是纯虚数，所以b＝2.5．已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为()A．－2B．±2C．±D．2解析：选A．(m＋i)2＝(m2－1)＋2mi＝3－4i，由复数相等得解得m＝－2，故选A．6．已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，则z＝________．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a－bi＋1＋2i＝10－3i，即所以a＝9，b＝5.所以z＝9＋5i.答案：9＋5i7．定义运算)＝(a＋d)－(c＋b)，则符合条件)＝0的复数z＝________．解析：由定义得z＋(1－i)－(1＋2i＋1－2i)＝0，所以z－1－i＝0.所以z＝1＋i.答案：1＋i8．已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．解析：z1＝(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.因为z1·z2∈R，所以a＝4，所以z2＝4＋2i.答案：4＋2i9．计算：1(1)(－＋i)－[(i－)－(＋i)]＋(－i＋)；(2)(1－2i)(2＋i)(3－4i)；(3)(1＋2i)(3＋4i)＋(3－4i)(4－5i)＋(5＋6i)(6－5i)．解：(1)原式＝(－＋＋＋)＋(－＋－)i＝2.(2)原式＝(2－2i2－4i＋i)(3－4i)＝(4－3i)(3－4i)＝12＋12i2－9i－16i＝－25i.(3)原式＝(3－8)＋(6＋4)i＋(12－20)＋(－16－15)i＋(30＋30)＋(36－25)i＝(－5－8＋60)＋(10－31＋11)i＝47－10i.10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13＋2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，所以z＝(5x－3y)－(x＋4y)i.又z＝13＋2i，所以解得所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.[B能力提升]1．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________．解析：z2－2z＝(z－1)2－1＝(i)2－1＝－3.答案：－32．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)(1＋i)＝1－i，即(x－y)＋(x＋y)i＝1－i，所以解得所以z＝－i，z＝i.答案：i3．已知z＝1＋i，＝1－i，求实数a，b的值．解：因为z＝1＋i，所以z2＝2i，z2－z＋1＝i，z2＋az＋b＝(a＋b)＋(a＋2)i，所以z2＋az＋b＝(1－i)i＝1＋i，所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，所以解得4．(选做题)已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝(a＋2z)2.解：因为z＝1＋i，所以az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，2所以由az＋2bz＝(a＋2z)2，得两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.3
