课时分层作业(五)二项式系数的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为()A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项C[展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数，故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．]2．已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A．5B．20C．10D．40C[根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.]3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是()A．2n＋1B．2n＋1＋1C．2n＋1－1D．2n＋1－2D[令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.]4．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.C．2n＋1D.D[令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.]5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为()A.B.C.D.A[由题意得a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.]二、填空题6．233除以9的余数是________．8[233＝811＝(9－1)11＝911－C910＋C98－…－1，∴233除以9的余数是8.]7.如图，在“杨辉三角”中，斜线l的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{an}，则a21＝________.66[此数列依次为C；C，C；C，C；C，C；…；C，C；…；a21＝C＝＝166.]8．设(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2的值为________．1[令(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1得A＝a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，令x＝－1得B＝a0－a1＋a2－…＋a10＝(＋1)10，所以(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝A·B＝[(＋1)(－1)]10＝[()2－1]10＝1.]三、解答题9．已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．[解]令x＝2，可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100，①令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100，②由①—②得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(5100－1)．10．已知n的展开式中的倒数第三项的系数是45.(1)求含x3的项；(2)求系数最大的项．[解]已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，所以n2－n－90＝0，解得n＝－9(不合题意，舍去)或n＝10.(1)即求10展开式中含x3的项．由通项Tr＋1＝C(x－)10－r(x)r＝Cx，得－＋＝3，－30＋3r＋8r＝36,11r＝66，得r＝6.故含有x3的项是第7项T7＝Cx3＝210x3.(2) 10的展开式共有11项，系数最大项是第6项．∴T6＝C(x)5·(x)5＝252x.[能力提升练]1．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为()A．71B．70C．21D．49B[因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C(－2)2＋C(－2)＝70，故选B.]2．若(1－2x)2019＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－1D．－2C[令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0，再令x＝0得a0＝1，所以＋＋…＋＝－a0＝－1.]3．设m是正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.6[由题意可知13C＝7C，∴13·＝7·，∴m＝6.]4．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，2在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.62[根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有＝且＝.化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]5．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数...
