计时双基练三十三数列求和A组基础必做1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝。答案C2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15解析记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5d＝5×3＝15。答案A3．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为()A.B.C.D.解析an＝＝，∴bn＝＝＝4，∴Sn＝4＝4＝。答案B4．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2016项的和等于()A．1509B．3018C．1512D．2016解析因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2016项的和等于S2016＝1008×＝1512。答案C5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝()A．6n－n2B．n2－6n＋18C.D.解析 由Sn＝n2－6n得数列{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2。∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，∴Tn＝答案C6．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10解析an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1。∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2。∴S9＝1013<1020，S10＝2036>1020。∴Sn>1020，n的最小值是10。答案D7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝________。解析 Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，①∴2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②∴①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2。答案(n－1)·2n＋1＋28．设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝________。解析 f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1。S＝f＋f＋…＋f，①S＝f＋f＋…＋f，②①＋②得，2S＝＋＋…＋＝2015，∴S＝＝1007.5答案1007.59．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________。解析 an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n。∴Sn＝＝2n＋1－2。答案2n＋1－210．(2015—2016学年度上学期衡水中学高三年级期中考试)正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(n∈N*)。(1)证明数列{an}为等差数列并求其通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<。解(1)由题意得，4Sn＝(an＋1)2,4Sn－1＝(an－1＋1)2，作差得a－a－2(an＋an－1)＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0。由正项数列知an＋an－1>0，∴an－an－1＝2。∴数列{an}是等差数列，其中a1＝1，∴an＝2n－1。(2) cn＝＝，∴Tn＝<，又 Tn是单调递增数列，∴Tn≥T1＝，∴≤Tn<。11．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋。(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn。解(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1。所以数列是以＝1为首项，1为公差的等差数列。(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2。从而bn＝n·3n。Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1。②①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，所以Sn＝。B组培优演练1．设bn＝(其中an＝2n－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，则T5＝()A.B.C.D.解析bn＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋－＝－，所以T5＝－＝。答案C2．(2016·长沙模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝()A．－100B．0C．100D．10200解析若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2...
