（江苏专版）高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第3讲 直线、平面垂直的判定与性质分层演练直击高考 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3讲直线、平面垂直的判定与性质1．直线a⊥平面α，b∥平面α，则a与b的位置关系为________．[解析]因为a⊥α，b∥α，所以a⊥b，但不一定相交．[答案]a⊥b2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是________．[解析]因为l⊂α，且l与n异面，所以n⊄α，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.[答案]n∥α3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形个数为________．[解析]由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．[答案]44．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确命题的序号是________．[解析]易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．[答案]①④5．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β有________对．[解析]过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.[答案]无数6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．[解析]如图，取BC的中点D，连结AD，则AD⊥BC.又PA⊥平面ABC，根据三垂线定理，得PD⊥BC.在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝4.[答案]47．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加条件的序号是________．①m∥n；②n⊥m.[解析]由面面垂直的性质定理可知，当n⊥m时，有n⊥β.[答案]②8．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．[解析]①显然正确；对②，只有当m，n相交且l⊄α时，才能l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n.故④正确．[答案]①③④9.(2018·潍坊模拟)如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论成立的序号是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面PAE；④平面PDE⊥平面ABC.[解析]因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，①成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论②，③均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论④不可能成立．[答案]①②③10．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_______个．[解析]若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．[答案]211．(2018·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿线段EF折起，使得∠DFA＝60°.设G为AF上的点．(1)试确定点G的位置，使得CF∥平面BDG；(2)在(1)的条件下，证明：DG⊥AE.解：(1)当点G为AF的中点时，CF∥平面BDG.证明如下：因为E，F分别为BC，DA的中点，所以EF∥AB∥CD.连接AC，交BD于点O，连接OG，则AO＝CO，又G为AF的中点，所以CF∥OG，因为CF⊄平面BDG，OG⊂平面DBG.所以CF∥平面BDG.(2)证明：因为E，F分别为BC，DA的中点...