高中数学 第二章 变化率与导数章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP免费

(二)变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为()A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】＝＝＝－6.【答案】C2.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A.1B.C.－D.－1【解析】y′＝2ax，于是切线斜率k＝f′(1)＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.【答案】A3.下列各式正确的是()A.(sinα)′＝cosα(α为常数)B.(cosx)′＝sinxC.(sinx)′＝cosxD.(x－5)′＝－x－6【解析】由导数公式知选项A中(sinα)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()A.0B.1C.2D.3【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1ABCD【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】B6.已知函数y＝，则它的导函数是()1A.y′＝B.y′＝C.y′＝D.y′＝－【解析】u＝x－1，y′＝()′·u′＝＝＝.【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.【答案】A8.(2016·烟台二中期末检测)设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N＋)的前n项和是()A.B.C.D.【解析】 f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝＝－，∴数列(n∈N＋)的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.故选A.【答案】A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)等于()图2A.－B.C.D.－或【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)＝[x＋(a－1)][x＋(a＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f′(x)的图像，则有a＝0，与已知矛盾，故(3)是f′(x)的图像，∴a＝－1.∴f(－1)＝－－1＋1＝－.【答案】A10.过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为()A.2x＋y＋2＝0B.3x－y＋3＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0【解析】y′＝2x＋1，设所求切线的切点为(x0，x＋x0＋1)，则＝2x0＋1，∴x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，曲线y＝x2＋x＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线方程为3x＋y＋3＝0.【答案】D11.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是(2)A.(1－ln2)B.(1＋ln2)C.D.(1＋ln2)【解析】y′＝2x－＝－1⇒x＝⇒y＝＋ln2，所以切点为，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d＝＝(1＋ln2)，故选B.【答案】B12.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.B.C.D.【解析】因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1，0)，所以tanα∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝________.【解析】 y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，∴f′(x)＝a，则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.即a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.【答案】－4x＋314.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标为－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.【解析】 y′＝2x－1，∴当x＝－2时，y′＝－5.又P(－2，6＋c)，∴＝－5，∴c＝4.【答案】415.设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.【解析】 f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)·(x－c)＋(x－a)·(x－b)，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，同理f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－...