（江苏专用）高考数学大一轮复习 第六章 第36课 平面向量的数量积要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第六章第36课平面向量的数量积要点导学要点导学各个击破平面向量数量积的运算(1)已知|a|=4,|b|=5,且a与b的夹角为60°,求(2a+3b)·(3a-2b)的值.(2)已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.①当m为何值时,c∥d?②当m为何值时,c⊥d?[思维引导]根据数量积的运算律来进行计算.[解答](1)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2-4a·b+9a·b-6b2=6a2+5a·b-6b2=6×42+5×4×5×cos60°-6×52=96+50-150=-4.(2)①因为c∥d,所以c=λd,所以3a+5b=λ(ma-3b),所以3a+5b=λma-3λb,所以3,5-3,m解得9-,55-.3m②因为c⊥d,所以c·d=0,所以(3a+5b)(ma-3b)=0,所以3ma2-9a·b+5ma·b-15b2=0,所以3m×9-9×3×2×cos60°+5m×3×2×cos60°-15×22=0,所以m=8742.[精要点评]数量积的运算律自身的特点要弄清,模和夹角是数量积计算中必须关注的两个关键因素.(2014·苏北四市期末)在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在边AD,BC上,且AD�=3AE�,BC�=3BF�.若向量AB�与DC�的夹角为60°,则AB�·EF�的值为.[思维引导]由题意可知AB�与DC�为目标向量,求AB�·EF�的值的关键是将EF�用AB�与DC�线性表示.[答案]7[解析]由题意得EF�=ED�+DC�+CF�,且EF�=EA�+AB�+BF�,将以上两式相加,得2EF�=13AD�+DC�+AB�+13CB�1=13(AB�+BC�+CD�)+DC�+AB�+13CB�,=43AB�+23DC�,于是EF�=23AB�+13DC�,从而AB�·EF�=AB�·2133ABDC�=223AB�+13AB�·DC�=23×9+13×3×2×cos60°=7.利用向量的数量积求模和夹角已知向量x=a-b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b,求x与y的夹角的余弦值.[思维引导]根据数量积的定义式的等价变形cosθ=·||||abab,可求得两个向量的夹角.[解答]因为|x|2=x2=a2-2a·b+b2=1-0+1=2,|y|2=y2=4a2+4a·b+b2=5,x·y=2a2-a·b-b2=1,所以cosθ=·yxyx=125=1010.(2014·南京、盐城二模)已知|OA�|=1,|OB�|=2,∠AOB=23,OC�=12OA�+14OB�,那么OA�与OC�的夹角大小为.[答案]60°[解析]由题意得OA�·OB�=|OA�||OB�|·cos∠AOB=-1,OA�·OC�=OA�·1124OAOB�=212OA�+14OA�·OB�=12×1+14×(-1)=14,|OC�|=22111·4416OAOAOBOB�=12,故cos∠AOC=·||||OAOCOAOC��=12,则∠AOC=60°.向量数量积的综合应用如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上.若AB�·AF�=2,则AE�·BF�=.2(例3)[思维引导]利用AF�=AD�+DF�,AE�=AB�+BE�,BF�=BC�+CF�进行运算与求值.[答案]2[解析]由题意得AF�=AD�+DF�,所以AB�·AF�=AB�·(AD�+DF�)=AB�·AD�+AB�·DF�=AB�·DF�=AB�·DF�cos0°=2DF�=2,从而得到DF�=1,CF�=2-1.又AE�=AB�+BE�,BF�=BC�+CF�,所以AE�·BF�=(AB�+BE�)·(BC�+CF�)=AB�·CF�+BE�·BC�=-2×(2-1)+1×2=2.【题组强化·重点突破】1.(2014·淮安、宿迁摸底)已知非零向量a,b满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,那么向量a与b的夹角为.[答案]3[解析]设向量a与b的夹角为θ,由(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,得|a|2-2a·b=0,|b|2-2a·b=0,即|a|=|b|,所以cosθ=·||||abab=12,又θ∈[0,π],故θ=3.2.(2014·南京、盐城一模)在△ABC中,BC=2,A=23,则AB�·AC�的最小值为.[答案]-23[解析]设AB=x,AC=y,由余弦定理得22=x2+y2-2xy·cos23,即4=x2+y2+xy≥2xy+xy,故xy≤43,当且仅当x=y时取等号,AB�·AC�=|AB�||AC�|·cosA=-12xy≥-12×43=-23,即AB�·AC�的最小值为-23.3.(2014·苏中三市、宿迁一调)在△ABC中,D是BC的中点,AD=8,BC=20,则AB�·AC�的值为3.[答案]-36[解析]方法一:因为AB�=AD�+DB�,AC�=AD�+DC�,所以AB�·AC�=(AD�+DB�)·(AD�+DC�)=1-2ADBC�·12ADBC�=2AD�-214BC�=64-100=-36.方法二:以BC为x轴,点D为原点建立平面直角坐标系,则B(-10,0),C(10,0),A(8cosθ,8sinθ),所以AB�·AC�=(-10-8cosθ,-8sinθ)·(10-8cosθ,-8sinθ)=64cos2θ-100+64sin2θ=64-100=-36.方法三:以BC为x轴,点D为原点建立平面直角坐标系,则B(-10,0),C(10,0),A(xA,yA).由AD=8,则2Ax+2Ay=64.又...