第32课正弦定理与余弦定理的综合应用一、填空题1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,则角B=.2.如图,在△ABC中,点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.(第2题)3.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过3h该船实际航行路程为.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B=.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若-2cosAcosCcosB=2-cab,则sinCsinA=.6.如图,测量河对岸的旗杆AB的高时,选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=a,并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°,则旗杆高AB为.(第6题)7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=6,b=4,C=120°,那么sinB的值是.18.已知甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高度相差.二、解答题9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.10.甲舰在A处,乙舰在A的南偏东45°方向、距A有9nmile的B处,并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲舰以28nmile/h的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间,能尽快追上乙舰?11.(2014·南京、盐城一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=3.(1)若△ABC的面积为3,求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.2第32课正弦定理与余弦定理的综合应用1.6解析:由正弦定理及已知可得a2+c2-b2=3ac,所以cosB=222-b2acac=32acac=32,所以B=6.2.3解析:cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=223,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=2(32)+32-2×32×3×223=3,所以BD=3.3.6km解析:如图,在△ABC中,AB=23,BC=43,∠ABC=60°,所以AC2=2(23)+2(43)-2×23×43cos60°=36,故AC=6.(第3题)4.3或23解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b2=3actanB,根据余弦定理得cosB=222-2acbac,所以cosB=32tanB,即tanBcosB=32,所以sinB=32,所以B=3或B=23.5.2解析:由正弦定理得-2cosAcosCcosB=2-cab=2-sinCsinAsinB,即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB,即sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA,所以sinCsinA=2.6.322a解析:在△BCD中,由正弦定理得045asin=060BCsin⇒BC=62a,在Rt△ABC中,AB=BCtan60°=62a×3=322a.37.5719解析:因为c2=a2+b2-2abcosC=62+42-2×6×4cos120°=76,所以c=219.由正弦定理得sinB=bsinCc=342219=5719.8.2033m解析:由直角三角形中的边角关系,可知甲、乙两楼的高度相差2033m.9.(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又a+c=6,b=2,cosb=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sinB=21-cosB=429,由正弦定理得sinA=asinBb=223.因为a=c,所以A为锐角,所以cosA=21-sinA=13,故sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=10227.10.设甲舰沿南偏东θ,th能最快追上乙舰,相遇点记为C(如图所示),(第10题)则在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=120°.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×1-2,整理得128t2-60t-27=0,解得t=34,4故BC=15nmile,AC=21nmile.由正弦定理得0120ACsin=BCsinBAC,所以sin∠BAC=1521×32=5314,sinθ=sin(45°-∠BAC)=112-5628,θ≈6.8°.故甲沿南偏东6.8°,34h能最快追上乙舰.11.(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积为3,所以12absinC=3,得ab=4.联立方程组22-4,4,ababab解得a=2,b=2.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,所以sinBcosA=2sinAcosA.若cosA=0,则A=2,B=6,a=433,b=233,所以△ABC的面积S=12bc=233.若cosA≠0时,则sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立22-4,2,ababba解得a=233,b=433.所以△ABC的面积S=12absinC=233.综上,△ABC的面积为233.5
