（江苏专用）高考数学二轮复习 第三篇 第30练 计数原理、随机变量、数学归纳法试题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第30练计数原理、随机变量、数学归纳法[明晰考情]1.命题角度：计数原理与排列、组合的简单应用；n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差；数学归纳法的简单应用.2.题目难度：中档难度.考点一计数原理与二项式定理的综合方法技巧(1)区分某一项的二项式系数与这一项的系数两个不同的概念；(2)在二项式展开式中，利用通项公式求一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项等；(3)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用；(4)关于x的二项式(a＋bx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决.1.设A，B均为非空集合，且A∩B＝∅，A∪B＝{1,2,3，…，n}(n≥3，n∈N*).记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a∈B，且b∈A”的集合对(A，B)的个数为an.(1)求a3，a4的值；(2)求an.解(1)当n＝3时，A∪B＝{1,2,3}，且A∩B＝∅.若a＝1，b＝2，则1∈B,2∈A，共C种；若a＝2，b＝1，则2∈B,1∈A，共C种，所以a3＝C＋C＝2；当n＝4时，A∪B＝{1,2,3,4}，且A∩B＝∅.若a＝1，b＝3，则1∈B,3∈A，共C种；若a＝2，b＝2，则2∈B,2∈A，这与A∩B＝∅矛盾；若a＝3，b＝1，则3∈B,1∈A，共C种，所以a4＝C＋C＝2.(2)当n为偶数时，A∪B＝{1,2,3，…，n}，且A∩B＝∅.若a＝1，b＝n－1，则1∈B，n－1∈A，共C(考虑A)种；若a＝2，b＝n－2，则2∈B，n－2∈A，共C(考虑A)种；…；若a＝－1，b＝＋1，则－1∈B，＋1∈A，共(考虑A)种；若a＝，b＝，则∈B，∈A，这与A∩B＝∅矛盾；若a＝＋1，b＝－1，则＋1∈B，－1∈A，共(考虑A)种；…；222Cnn22Cnn1若a＝n－1，b＝1，则n－1∈B,1∈A，共C(考虑A)种.所以an＝C＋C＋…＋＋＋…＋C＝2n－2－；当n为奇数时，同理，an＝C＋C＋…＋C＝2n－2.综上所述，当n≥3，且n∈N*时，an＝2.已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n－1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CC＋CC＋…＋CC；(2)证明：(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC.(1)解(1＋x)2n－1的展开式中含xn的项的系数为C，由(1＋x)n－1(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn－1)·(C＋Cx＋…＋Cxn)可知，(1＋x)n－1(1＋x)n的展开式中含xn的项的系数为CC＋CC＋…＋CC.所以CC＋CC＋…＋CC＝C.(2)证明当k∈N*时，kC＝k·＝＝n·＝nC，所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝∑[k(C)2]＝∑(kCC)＝∑(nCC)＝n∑(CC)＝n∑(CC).由(1)知，CC＋CC＋…＋CC＝C，即∑(CC)＝C，所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC.3.设f(x)是定义在R上的函数，已知n∈N*，且g(x)＝Cfx0(1－x)n＋Cfx1(1－x)n－1＋Cfx2(1－x)n－2＋…＋Cfxn(1－x)0.(1)若f(x)＝1，求g(x)；(2)若f(x)＝x，求g(x).解(1) f(x)＝1，∴f＝f＝…＝f＝1，∴g(x)＝Cx0(1－x)n＋Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn(1－x)0＝[(1－x)＋x]n＝1. 零的零次幂无意义，∴g(x)＝1，且x≠0，x≠1，x∈R.(2) rC＝r·＝＝n·＝nC，其中r＝1,2，…，n，∴rC＝nC(r＝1,2，…，n).又 f(x)＝x，∴g(x)＝C·0·x0(1－x)n＋C··x1(1－x)n－1＋C··x2(1－x)n－2＋…＋C··xn(1－x)0＝[Cx1(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋rCxr(1－x)n－r＋…＋nCxn(1－x)0]＝·n[Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxr(1－x)n－r＋…＋Cxn(1－x)0]＝x[Cx0(1－x)n－1＋Cx1(1－x)n－2＋…＋Cxr－1(1－x)(n－1)－(r－1)＋…＋Cxn－1(1－x)0]＝x[(1－x)＋x]n－1＝x，即g(x)＝x，x≠0，x≠1，x∈R.4.设集合S＝{1,2,3，…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对(A，B)的个数为Pn.(1)求P2，P3的值；(2)求Pn的表达式.222Cnn22Cnn122Cnn122Cnn2解(1)当n＝2时，即S＝{1,2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1.当n＝3时，即S＝{1,2,3}.若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3}；若A＝{2}或A＝{1,2}，则B＝{3}.所以P3＝5.(2)当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1,2，…，k－1中任取若干个(包含不取)，所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1(种)情况，此时集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干个(至少取1个)，所以集合B共有C＋C＋C...