【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何阶段回扣练理阶段回扣练(九)(建议用时：70分钟)1.(2016·镇江调研)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角.求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明因为二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面BAC.又因为AB＝AC，BC＝AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).(1)A1B1＝(0，2，0)，A1A＝(0，0，－2)，AC＝(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，则n＝(0，1，0).所以A1B1＝2n，即A1B1∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1＝(0，2，2)，A1C1＝(1，1，0)，A1C＝(2，0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1，1).所以AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB1⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.2.(2016·徐州质检)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a).因为F为CD的中点，所以F.1(1)因为AF＝，BE＝(a，a，a)，BC＝(2a，0，－a)，所以AF＝(BE＋BC)，又AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因为AF＝，CD＝(－a，a，0)，ED＝(0，0，－2a)，所以AF·CD＝0，AF·ED＝0，所以AF⊥CD，AF⊥ED.因为CD∩ED＝D，所以AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.3.(2015·泰州期末)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，DA＝DC＝2，DD′＝1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD上(点P与点B不重合).(1)若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；(2)若DP＝，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值.解(1)以DA，DC，DD′为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，由题意，知D(0，0，0)，A′(2，0，1)，B(2，2，0)，C′(0，2，1)，O′(1，1，1).设P(t，t，0)，所以O′P＝(t－1，t－1，－1)，BC′＝(－2，0，1).设异面直线O′P与BC′所成角为θ，则cosθ＝＝＝，化简得21t2－20t＋4＝0，解得t＝或t＝，所以P或，所以DP＝或DP＝.(2)因为DP＝，所以P，DC′＝(0，2，1)，DB＝(2，2，0)，PA′＝，PC′＝，设平面DC′B的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，所以所以即取y1＝－1，n1＝(1，－1，2)，设平面PA′C′的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，所以所以即取y2＝1，n2＝(1，1，1)，设平面PA′C′与平面DC′B所成角为φ，所以|cosφ|＝＝＝，所以sinφ＝.4.(2015·福建卷)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.2(1)证明如图①，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.又F是CD的中点，所以DF＝CD.图①由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)解如图②，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC.因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.图②以B为原点，分别以BE，BQ，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1).因为AB⊥平面BEC，所以BA＝(0，0，2)为平面BEC的法向量.设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.又AE＝(2，0，－2)，AF＝(2，2，－1)，由得取z＝2，得n＝(2，－1，2).从而cos〈n，BA〉＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.5.如图所示，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦...
