学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】由a·b＝|a||b|cosθ＝|a||b|可知cosθ＝1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cosθ＝±1，a·b＝±|a||b|.故a·b＝|a||b|是a，b共线的充分不必要条件．【答案】A2．如图227所示，已知三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为()图227A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝【解析】OG＝OM＋MG＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA－OM＋ON＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC，∴x＝，y＝，z＝.【答案】D3．已知e1、e2互相垂直，|e1|＝2，|e2|＝2，a＝λe1＋e2，b＝e1－2e2，且a、b互相垂直，则实数λ的值为()A.B．C．1D．2【解析】 a⊥b，∴(λe1＋e2)·(e1－2e2)＝0.又e1⊥e2，∴e1·e2＝0.∴λe－2e＝0.又 |e1|＝2，|e2|＝2，∴4λ－8＝0，∴λ＝2.【答案】D4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()【导学号：32550026】A.B．1C.D．【解析】依题意得|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×＝3，则|a＋2b|＝.【答案】B5.如图228所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()图228A.B．C．－D．0【解析】 OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|cos〈OA，OC〉－|OA|·|OB|·cos〈OA，OB〉又OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，∴OA·BC＝0，即OA⊥BC，∴cos〈OA，BC〉＝0.【答案】D二、填空题6．如图229，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AM＋A1A＝________.(用a、b、c表示)图229【解析】AM＋A1A＝AA1＋A1M－AA1＝AA1＋A1C1＝AA1＋(A1B1＋B1C1)＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)．【答案】(a＋b＋c)7.如图2210，在45°的二面角αlβ的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．图2210【解析】由CD＝CA＋AB＋BD，2cos〈AC，BD〉＝cos45°cos45°＝，∴|CD|2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋AB·BD＋CA·BD)＝3＋2×(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－，∴|CD|＝.【答案】8．如图2211所示，已知空间四边形ABCD每条边和对角线都等于1，点E，F分别是CD，AD的中点，则AB·EF＝________.【导学号：32550027】图2211【解析】 EF綊CA，〈AB，AC〉＝60°，∴〈AB，FE〉＝120°.∴AB·EF＝|AB||EF|cos〈AB，EF〉＝1×cos120°＝－.【答案】－三、解答题9．在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.【证明】如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又OG＝(OM＋ON)＝＝(a＋b＋c)，BC＝c－b，∴OG·BC＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2cosθ－|a|2cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴OG⊥BC.10．如图2212，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.求证：EH与FG为共线向量．图2212【证明】 E，H分别是AB，AD的中点，∴EH＝AH－AE3＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD.又 CF＝2FB，CG＝2GD，∴CF＝CB，CG＝CD.∴FG＝CG－CF＝CD－CB＝(CD－CB)＝BD.∴BD＝FG.∴EH＝FG.∴EH与FG为共线向量．[能力提升]1．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝AC·AD＝AB·AD＝0，则△BCD为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定【解析】BD＝BA＋AD，BC＝BA＋AC，CD＝CA＋AD，∴cos〈BD，BC〉＝＝＞0，∴〈BD，BC〉为锐角，同理cos〈CB，CD〉＞0，∴∠BCD为锐角，cos〈DB，DC〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．【答案】B2．如图2213，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为()图2213A.B．C.D．【解析】 AC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|＝＝ AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BA...
