3.3.2.1双曲线的简单几何性质[A.基础达标]1．已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选D.因为焦点在x轴上，＝，c＝4，c2＝42＝a2＋b2＝a2＋(a)2＝4a2，所以a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.故选D.2．若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为()A．1B．2C．3D．6解析：选B.圆心(2，0)到一条渐近线的距离为＝.双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心(2，0)到渐近线的距离为＝，得a＝1，故双曲线实轴长为2a＝2.3．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为()A.B.C．1＋D．1＋解析：选B.由题意知|AB|＝|BC|＝2c，又∠ABC＝120°，过B作BD⊥AC，D为垂足，则|AC|＝2|CD|＝2×|BC|sin60°＝2c，由双曲线定义|AC|－|BC|＝2c－2c＝2a，所以e＝＝＝＝.4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A.B.C.D.解析：选A.由题意得1＋＝5，p＝8，y2＝16x，当x＝1时，m2＝16，m>0，m＝4.所以M(1，4)，双曲线的左顶点A(－，0)，kAM＝，由题意＝，所以a＝.5．已知双曲线M的焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，如果直线y＝－x是双曲线M的一条渐近线，那么M的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选D.设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的焦点为(±3，0)，c＝3，双曲线渐近线方程为y＝±x，故＝即b＝a，c＝＝a＝3，得a＝，b＝，故双曲线M的方程为－＝1.6．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．解析：双曲线右焦点坐标为(5，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，该圆的半径等于(5，0)到渐近线的距离，故半径为＝4，故该圆的标准方程为(x－5)2＋y2＝16，其一般方程为x2＋y2－10x＋9＝0.答案：x2＋y2－10x＋9＝07．与双曲线x2－2y2＝2有共同的渐近线，且过点M(，2)的双曲线方程是________．解析：该双曲线的方程可设为x2－2y2＝λ(λ≠0)，将M(，2)代入，得λ＝－6，故该双曲线方程为－＝1.答案：－＝18．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x＝1时，y＝x＝<2，所以e2＝＝1＋()2<5，又e>1，所以e∈(1，)．答案：(1，)9．双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线，求双曲线C的方程．解：由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，由已知设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．则渐近线为y＝±x.因为y＝x为双曲线C的一条渐近线，所以＝.又两曲线有相同焦点，对于双曲线C：c＝2，所以a2＋b2＝4.1解得a2＝1，b2＝3.所以双曲线C的方程为x2－＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：NF1·NF2＝0；(3)对于(2)中的点N，求△F1NF2的面积．解：(1)因为e＝，故可设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点M(4，－)，所以16－10＝λ，所以λ＝6.所以双曲线方程为－＝1.(2)证明：由(1)可知，在双曲线中，a＝b＝，所以c＝2.所以F1(－2，0)，F2(2，0)．所以NF1＝(－2－3，－m)，NF2＝(2－3，－m)．所以NF1·NF2＝[(－2－3)·(2－3)]＋m2＝－3＋m2.因为点N(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，所以m2＝3.所以NF1·NF2＝0.(3)因为△F1NF2的底|F1F2|＝4，高h＝|m|＝，所以△F1NF2的面积S＝6.[B.能力提升]1．设F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0解析：选C.设线段PF1的中点为M，由于|PF2|＝|F1F2|.故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线...
