2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.已知F1(-3,0),F2(3,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=5,则点M的轨迹是()A.点B.椭圆C.线段D.不存在解析 F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,又|MF1|+|MF2|=5<6,∴点M的轨迹不存在.答案D2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1解析由题意可得{a2-b2=9,0+9b2=1,解得{a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.答案D3.如果方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.(3,4)B.(72,+∞)C.(3,72)D.(72,4)解析因为方程x24-m+y2m-3=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,解得72b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.线段D.直线解析设椭圆的右焦点为F2,由题意,知|PO|=12|MF2|,|PF1|=12|MF1|,又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由椭圆的定义,知P点的轨迹是椭圆.答案B5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2√3,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为()A.x212+y29=1B.x212+y29=1或x29+y212=1C.x29+y212=1D.x248+y245=1或x245+y248=1解析由已知2c=|F1F2|=2√3,所以c=√3.因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4√3,所以a=2√3,所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是x212+y29=1或x29+y212=1.答案B6.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则点M的纵坐标为()A.±34B.±√22C.±√32D.±√34解析 线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点,∴OM为△PF1F2的中位线,∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是3或-3, 点P在椭圆上,∴912+y23=1,即y2=34,∴y=±√32.∴点M的纵坐标为±√34.答案D7.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2√15,则此椭圆的标准方程为.解析由已知2a=8,2c=2√15,所以a=4,c=√15,所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x2=1.答案y216+x2=18.已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是.解析设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,又 |MF|=2,∴|ME|=8,又ON为△MEF的中位线,∴|ON|=12|ME|=4.答案49.求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=√32+(2+2)2+√32+(2-2)2=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x212=1.(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.10.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点(-1,2√55).(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.解(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则{a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-165(舍),a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,得y0=±12.又x025+y02=1,所以x02=154,x0=±√152,所以点P有4个,它们的坐标分别为(√152,12),(-√152,12),(√152,-12),(-√152,-12).能力提升练1.如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|,∴|EO|+|EA|=|OB|>|OA|,即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|,且|OB|>|OA|,根据椭圆的定义可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆.答案B2.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|-a=9a-|PF2|(a>0),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析由题意得,|PF1|-a=9a-|PF2|(a>0),所以|PF1|+|PF2|=a+9a≥2√a·9a=6,当且仅当a=9a时取等号,此时a=3,...
