第八节解三角形的综合应用课时作业练1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度BC=.答案120(√3-1)m解析如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30°=60√3(m).在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75°=602+√3=60(2-√3)(m),则BC=CD-BD=60√3-60(2-√3)=120(√3-1)(m).2.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是km.答案3√2解析由题意知AB=24×1560=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6km,∠ASB=75°-30°=45°.由正弦定理知BSsin30°=ABsin45°,则BS=AB·sin30°sin45°=3√2(km).3.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则tanα=.1答案√2315解析由题意可知,在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,所以sinα=√23116,所以tanα=sinαcosα=√2315.4.为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为.答案(2+√3)米解析设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y-0.5)米.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即(y-0.5)2=y2+x2-2yx×12,化简得y(x-1)=x2-14. x>1,∴x-1>0,∴y=x2-14x-1,即y=(x-1)+34(x-1)+2≥√3+2,当且仅当x-1=34(x-1),即x=1+√32时,上式取“=”,∴当x=1+√32时,y有最小值2+√3.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=4√5,c=5,且B=2C,点D为边BC上一点,且CD=3,则△ADC的面积为.答案62解析在△ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC,又B=2C,则b2sinCcosC=csinC,又sinC>0,则cosC=b2c=2√55,又C为三角形的内角,则sinC=√1-cos2C=√55,则△ADC的面积为12AC·CDsinC=12×4√5×3×√55=6.6.(2018江苏南通摸底)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=2√23,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆面积为.答案9π解析已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R为△ABC的外接圆半径),则2Rsin(A+B)=2,则2RsinC=2.因为cosC=2√23,所以sinC=13,所以R=3,故△ABC的外接圆面积为9π.7.(2019泰州模拟)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与B的距离为km.答案√3a解析由题图可知,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·(-12)=3a2,解得AB=√3a(km).8.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=√3,则b2+c2的取值范围是.答案(5,6]解析因为(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,所以由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=12,所以△ABC的内角A=π3.又a=√3,则asinA=bsinB=csinC=√3√32=2,则3b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1-cos2B)+2(1-cos2C)=4-2cos2B+cos2(2π3-B)=4-212cos2B-√32sin2B=4-2cos(2B+π3).又△ABC是锐角三角形,所以{0
