第三节基本不等式及其应用课时作业练1.当x>1时,函数y=x+1x-1的最小值是.答案3解析当x>1时,x-1>0,y=x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2√(x-1)·1x-1+1=3,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时等号成立.2.(2018江苏高考信息预测)函数y=x+12x-1(x>12)的最小值是.答案√2+12解析 x>12,∴2x-1>0.∴y=x+12x-1=(x-12)+12x-1+12≥2√12+12=√2+12,当且仅当x=√2+12时取等号.∴函数y=x+12x-1(x>12)的最小值是√2+12.3.函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为.答案8解析 函数y=loga(x+3)-1的图象恒过点(-2,-1),∴A(-2,-1).又点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn>0,∴m>0,n>0.∴1m+2n=2m+nm+4m+2nn=2+nm+2+4mn≥4+2√4=8,当且仅当n=12,m=14时,等号成立,∴1m+2n的最小值为8.14.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.答案5解析由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x>0,y>0),则3x+4y=15(3x+4y)(3x+1y)=15(13+12yx+3xy)≥15(13+2√12yx·3xy)=15×(13+12)=5,当且仅当12yx=3xy,即x=2y时,等号成立,此时由{x=2y,x+3y=5xy,解得{x=1,y=12.5.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2√ab-(4a2+b2)的最大值是.答案√2-12解析由√(2a)2+b22≥2a+b2≥√2a·b,得√2ab≤12,且4a2+b2≥12,所以S=2√ab-(4a2+b2)=√2·√2ab-(4a2+b2)≤√22-12,当且仅当2a=b=12时,等号成立.6.(2018江苏无锡调研)已知正数a,b,直线l1:(a-b)x+aby+1=0,l2:(a+3b)x+y=0,若l1∥l2,则b的最大值为.答案132解析由l1∥l2得a-b=ab(a+3b),则1b-1a=a+3b. a>0,∴1b-3b=a+1a≥2√a·1a=2,整理得3b2+2b-1≤0.又b>0,解得01,则n=t-1,m+n=m+t-1=3,m+t=4,则m2+1m+n2n+1=m+1m+(t-1)2t=m+1m+t+1t-2=2+1m+1t=2+14(m+t)(1m+1t)=2+14(2+tm+mt)≥2+12+14×2√tm·mt=3,当且仅当m=t=2时取等号,故m2+1m+n2n+1的最小值为3.8.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)设m>0,n>0,2m+n=1,则4m2+n2+√mn的最大值与最小值之和为.答案25+4√216解析由m>0,n>0,2m+n=1得1≥2√2mn,00).(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.解析(1)m=1时,y=x+1x-1=x-1+1x-1+1.因为x>1,所以x-1>0.所以y=x-1+1x-1+1≥2√(x-1)·1x-1+1=3.当且仅当x-1=1x-1,即x=2时取等号.所以当x>1时函数的最小值为3.4(2)因为x<1,所以x-1<0.所以y=x-1+mx-1+1=-(1-x+m1-x)+1≤-2√(1-x)·m1-x+1=-2√m+1.当且仅当1-x=m1-x,即x=1-√m时取等号.即函数的最大值为-2√m+1,所以-2√m+1=-3,解得m=4.12.如图,等腰直角三角形区域ABC中,∠ACB=90°,BC=AC=1百米.现准备划出一块三角形区域CDE,其中D,E均在斜边AB上,且∠DCE=45°.记三角形CDE的面积为S.(1)①设∠BCE=θ,试用θ表示S;②设AD=x,试用x表示S;(2)在②的基础上,求S的最大值.解析(1)①以CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则直线CE:y=(tanθ)·x,直线CD:y=(tan(θ+π4))·x,0≤θ<π4,直线AB:y=-x+1,联立解得E(11+ta...
