高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2.1 双曲线的简单性质课后演练提升 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2.1双曲线的简单性质课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析：由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：C2．双曲线mx2＋y2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝()A．－B．－4C．4D.解析：由题意知m＜0，方程化为y2－＝1，∴a2＝1，b2＝－，又a＝2b，∴a2＝4b2.∴1＝－，∴m＝－4.答案：B3．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：∵b＝6，＝，∴a＝8又焦点在x轴上，∴方程为－＝1.答案：D4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·江西卷)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.解析：由a2＝16，b2＝m，∴c2＝16＋m，＝＝4，∴m＝48.答案：486．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)顶点在x轴，两顶点的距离为8，离心率是；(2)离心率e＝，且过点(4，)．解析：(1)由已知设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．则2a＝8，∴a＝4.由e＝＝得c＝5.∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∴所求双曲线方程为－＝1.(2)e＝，可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，∵过点(4，)，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为－＝1.8．直线x＝t过双曲线－＝1的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，求双曲线离心率的取值范围．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由x＝t＝c可得|AB|＝，又∵原点在以AB为直径的圆内，∴c＜，∴a＜b，∴＞1，∵e＝＝，∴e＞，∴离心率e的取值范围是(，＋∞)．☆☆☆9．(10)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；1(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解析：(1)∵离心率e＝，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，知λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.(2)证明：若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.由双曲线x2－y2＝6知，F1(2，0)，F2(－2，0)，∴MF1·MF2＝(2－3，－m)·(－2－3，－m)＝9－(2)2＋m2＝0.∴MF1⊥MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2×＝6.2