第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．在下列命题中，不是公理的是()①平行于同一个平面的两个平面相互平行；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．①[①不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；②③④是平面的基本性质公理．]2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为____________．1[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]3．(2016·南京模拟)下列命题中正确的是____________．(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②三个平面两两相交的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可能只有一个交点．①[由公理3的推论1可知①正确；其余均错误．]4．已知α，β为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是____________．(填序号)①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A.③[由公理1及公理2可知①②正确，③错误．]5．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点．若∠BFC＝60°，则∠ED1D＝____________.【导学号：62172216】60°[ BF∥D1E，DD1∥CF，∴由等角定理可知∠BFC＝∠ED1D＝60°.]6．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为____________．[连结DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．1设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，∴cos∠D1FD＝＝.]7.如图397所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：图397①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]8.如图398所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．图39860°[取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.]9．如图399，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.【导学号：62172217】图3994[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]10.如图3910是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，2图3910①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是____________．②③④[把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.]二、解答题11.如图3911，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.图3911(1)求AH∶HD；(2)求证：EH，FG，BD三线共点．[解](1) ＝＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1.(2)证明： EF∥GH，...
