高中数学电子题库第三章§4导数的四则运算法则北师大版选修1-1下列求导运算正确的是()A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选B.由导数的运算法则以及常用函数的导数公式易得．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析：选B.因为f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，所以f′(x0)＝lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，即x0＝e.已知f(x)＝x－5＋3sinx，则f′(x)＝________．答案：－5x－6＋3cosx(2012·宿州调研)设f(x)＝aex＋bx，且f′(－1)＝，f′(1)＝e，则a＋b＝________．解析：f′(x)＝aex＋b，∴＝f′(－1)＝a·＋b，e＝f′(1)＝ae＋b.∴a＝1，b＝0.∴a＋b＝1.答案：1[A级基础达标]若函数f(x)＝ex·sinx，则函数的图像在点(4，f(x))处的切线的倾斜角为()A.B．0C．钝角D．锐角解析：选C.∵f′(x)＝exsinx＋excosx，∴f′(4)＝(sin4＋cos4)e4.∵e4＞0，sin4＜0，cos4＜0，∴f′(4)＜0.∴切线的斜率小于零．∴倾斜角为钝角．(2010·高考江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－21C．2D．0解析：选B.由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2.故选B.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：选A.∵y′＝＝，∴切线斜率k＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.(2012·淮北质检)已知f(x)＝＋4x，则f′(2)＝________．解析：∵f(x)＝＋4x，∴f′(x)＝－＋4，∴f′(1)＝－f′(1)＋4，∴f′(1)＝2，∴f′(x)＝－＋4，∴f′(2)＝－＋4＝.答案：(2012·驻马店质检)若曲线f(x)＝x·sinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．解析：因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，根据题意得1×＝－1，解得a＝2.答案：2已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．求：(1)切点的坐标；(2)a的值．解：(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵y′＝3x2－4x，由题意可知直线l的斜率k＝4，∴3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，代入曲线的方程，得切点的坐标为或(2，3)．(2)当切点为时，有＝4×＋a，解得a＝；当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.∴a＝或a＝－5.[B级能力提升](2011·高考江西卷)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1，0)解析：选C.令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.(2011·高考湖南卷)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B.C．－2D.解析：选B.y′＝＝，把x＝代入得导数值为，即所求切线的斜率为.已知f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝________．解析：f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＋0×[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24.答案：24设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．解：因为f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又因为f′(x)＝xcosx，所以解方程组，得因此f(x)的解析式为f(x)＝xsinx＋cosx.(创新题)已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意可设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2.所以f(x)＝3x2－2x.(2)因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5＝1.故an的通项公式为an＝6n－5(n∈N＋)．3
