高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1-3.2.2 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数课时分层作业（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP免费

课时分层作业(二十三)两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．设α∈，若sinα＝，则cos等于()A．B．C．－D．－A[cos＝＝cosα＋sinα＝＋＝.]2．化简sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A．sin2xB．cos2xC．－cos2xD．－sin2xC[原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos2x，故选C.]3．若锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是()A．B．C．D．C[∵cosα＝，cos(α＋β)＝，α、β∈，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.]4．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，那么这个三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形D[sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，由sinA＝2sinBcosC，得cosBsinC＝sinBcosC，所以cosBsinC－sinBcosC＝0，即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．]5．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若AC·BC＝－1，则sin等于()A．B．C．D．B[AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，∴AC·BC＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，∴3(sinα＋cosα)＝2，∴3sin＝2，∴sin＝.]二、填空题6．化简sin＋cos的结果是________．1cosα[原式＝sincosα＋cossinα＋coscosα－sinsinα＝cosα.]7．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________．[原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝.]8．若cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，则cos(α－β)＝________．[由已知得cosα－cosβ＝，①sinα－sinβ＝－.②①2＋②2得(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝＋，即2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＝，所以cos(α－β)＝.]三、解答题9．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求sinα.[解]因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π).因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.因为β∈，sinβ＝－，所以cosβ＝.所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.10．已知cosα＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．[解]因为0＜α＜，cosα＝，所以sinα＝，又因为0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，因为sin(α＋β)＝＜sinα，所以cos(α＋β)＝－，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－＝，又因为0＜β＜，所以β＝.1．若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是()A．B．C．D．D[由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∴x∈[0，π]，∴x＝.]2．已知点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则|AB|等于()A．B．C．D．1D[|AB|＝2＝＝＝＝1.]3．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．－[∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，∴sin(α＋β)＝－.]4．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．[sin(α－β)＝－.sin2α＝，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×＝－，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]5．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.[解](1)f＝Asin＝Asin＝A＝，所以A＝3.(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin＝3－＝6sinθcos＝3sinθ＝，所以sinθ＝.又因为θ∈，所以cosθ＝＝＝，所以f＝3sin＝3sin＝3cosθ＝.3