北师大版九年级上册第三节：正方形的性质与判定第三节：正方形的性质与判定第一章：特殊平行四边形(1)平行四边形的对边__________,对角_____,对角线________.(2)菱形的四边_______,对边_____,对角______,对角线___________________,且每一组对角线平分一组对角.(3)矩形的对边__________,对角_____,对角线_______________.平行且相等互相平分且相等相等互相平分且互相垂直平行且相等互相平分平行相等相等相等问题问题::从这个图形中你能得到什么？从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？你是怎样想到的？┓90°90°当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.探究新知αα探究新知定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。┓90°90°正方形还可以怎样定义呢？想一想想一想想一想想一想探究新知定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。边相等有一组邻正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。探究新知如何在平行四边形的基础上定义正方形呢？平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案和工艺品设计上.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形矩形菱形正方形正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。想一想OABCD(A)(B)(D)探究新知正方形的性质=菱形的性质+矩形性质边：对边平行四边相等角：四个角都是直角对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角图形的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D.证明: 四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD, 四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D.证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.证明： ABCD是正方形,∴AB=CD,ABC=DCB,∠∠ BC=BC.∴ΔABCΔDCB,≌∴AC=BD. OB=OD,AB=AD,OA=OA,∴ΔAOBΔAOD,≌∴∠AOB=AOD,∠又∠AOB+AOD=90°,∠∴∠AOB=90°,∴ACBD,⊥即对角线互相垂直且相等.已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，ACBD.⊥例题讲解例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.解析： 四边形ABCD是正方形2222=+=BCABACcm22∴BC=AB=2,ABC=90∠°，在Rt△ABC中，例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PEAC⊥于E，PFBD⊥于F,则PE+PF=______________.PABCDEFO分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.解： ABCD是正方形∴AO=AC=5,BAC=45°∠,ACBD⊥又 PEAC⊥,PFBD⊥∴四边形PEOF为矩形∴PF=OE在△APE中,PAE=45°∠∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=5.215例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=DCF=90∠°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.（1） 四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又 CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：(2)如图，延长BE交DE于点M， △BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF. ∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.巩固练习1.判断题：（1）四个角都相等的四边形是正方形.（）(2)四条边都相等的四边形是正方形.（）（3）对角线相等的菱形是正方形.()(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.（）（5）对角线垂直相等的四边形是正方形.()(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.()××√√×√3.正方形ABCD中，M为AD中点，MEBD⊥于E，MFAC⊥于F,若ME+MF=8cm，则AC=________.30°16cm2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____._____.EA...
