数学九年级上册新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究23.4中位线新知梳理►知识点一三角形的中位线23.4中位线1．三角形的中位线：连结三角形的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线的性质：三角形的中位线第三边并且等于的一半．两边中点平行于第三边►知识点二三角形的重心23.4中位线1．三角形的重心：三角形三条边上的中线交于，这个点就是三角形的．2．三角形重心的性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13.重心一点重难互动探究探究问题三角形的中位线及其应用23.4中位线例如图23－4－4所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，CF＝12AC，∠FEC＝∠B.图23－4－4(1)求证：CF＝DE；(2)若AC＝6，AB＝10，求四边形DCFE的面积．23.4中位线解：(1)证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝12AC.又CF＝12AC，∴CF＝DE.(2)∵AC＝6，AB＝10，由勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝8.∴S四边形DCFE＝DE·CE＝12AC·12BC＝12.23.4中位线[归纳总结]中位线与中线的区别：三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念．中位线是两边中点的连线，而中线是顶点与对边中点的连线；中线经过三角形的顶点，而中位线没有经过三角形的顶点；中位线只与三角形的两边相交，而中线却与三角形的三边都相交；中线平分三角形的面积，而中位线却不能．23.4中位线[备选例题]如图23－4－5所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测量出DE的长为15m，则A，B两点间的距离为______m.图23－4－53023.4中位线[归纳总结]本题为我们提供了测量不可直接到达的两点之间的距离的一种方法——构造三角形的中位线．[解析]由题意可知DE是△ABC的中位线，故AB＝2DE＝30m.23.4中位线备选探究问题三角形的重心的应用例如图23－4－6，△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连结DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，求OC的长．图24－4－623.4中位线[解析]解法一：由题意，知O点为△ABC的重心，根据重心的性质可得出OC＝2OD；解法二：由题意，知DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝12BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成比例即可得出OC＝2OD.23.4中位线解：解法一：∵点D，E分别为AB，AC的中点，线段BE，CD相交于点O，∴O点为△ABC的重心，∴OC＝2OD＝4；解法二：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝12BC，∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，∴△ODE∽△OCB，∴OD∶OC＝DE∶BC＝1∶2，∴OC＝2OD＝4.故OC的长为4.
