1.4.1曲边梯形面积与定积分VIP免费

BxAoy∟BxAoy∟不规则的几何图形可以分割成若干个规则的几何图形来求解体现割补思想和曲线所围成的图形称为曲边梯形.曲边梯形：由直线0),(,ybabxax)(xfy魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-----割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?以“直”代“曲”无限逼近案例探究2xy1xyo如何求由直线与抛物线所围成的平面图形的面积S？2xy0,1,0yxx思考：怎样分割？xyO1方案1方案2为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形“”“”对任意一个小曲边梯形，用直边代替曲边（即在很小范“”围内以直代曲），有以下两种方案以直代曲.xoy1(1)将区间[0，1]平均分成5份，如图所示。1S44.02.0)18.06.04.02.0(222221S过剩估计值xoy1(2)1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221s不足估计值xoy1(3)我们可以用或近似表示S，但是都存在误差，二者之差为，但是无论是用还是来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，如图(3)所示。1S1s2.011sS1S1s为减小误差，我们将区间[0，1]10等分，则所求面积的过剩估计值为385.01.0)12.01.0(2222S285.01.0)9.02.01.00(22222s不足估计值为二者的差值为，此时,无论用还是来表示S，误差都不超过0.1。1.022sS2S2s区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。通过动画演示我们来观察体会，n越大，区间分的越细，过剩估计值和不足估计值就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个无限逼近的过程.点击演示分割近似代替求和逼近以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：OyxOyxOyxOyx问题2司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，此过程中汽车的速度v是时间t的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s。)50(2510)(2ttttv分析：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs)(2511mss此时误差不超过：将滑行的5s平分成5份。用，，，近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为：1s)0(v)1(v)2(v)3(v)4(v用，，，，近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的不足估计值为：1s)1(v)2(v)3(v)4(v)5(v滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。若将5秒平分成10份，则得到过剩估计值为：2s)(625.355.0)5()2()5.1()1()5.0(2mvvvvvs)(5.12625.35125.4822mss)(125.485.0)]5.4()4()1()5.0()0([2mvvvvvs不足估计值为：2s此时，误差都不超过概括“”我们通过以不变代变的逼近方法解决了求变速运动的问题，它们的步骤：分割、近似代替、求和、无限逼近课本78页动手实践曲边梯形的面积和变速运动行驶的路程两个案例两种思想分割、近似代替、求和、无限逼近“以直代曲”和“无限逼近”思想四个步骤做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！西安交大阳光中学数学组赵红军