三反证法与放缩法VIP免费

高二选修4-52.3反证法与放缩法若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：1＋xy<2和1＋yx<2中至少有一个成立．问题导入【证明】假设1＋xy<2和1＋yx<2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，因此1＋xy<2和1＋yx<2中至少有一个成立．本节目标1．掌握用反证法证明不等式的方法．2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．1.如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数预习反馈【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】C2.若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是()A．|a－b|＜2hB．|a－b|＞2hC．|a－b|＜hD.|a－b|＞h【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.【答案】A预习反馈3．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是________.【解析】A＝11＋12＋13＋…＋1n≥＝nn＝n.【答案】A≥n预习反馈教材整理1反证法先假设，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．要证的命题不成立命题的条件矛盾假设课堂探究教材整理2放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．放大缩小课堂探究题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．典例精析【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，|∴f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.典例精析1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．归纳小结1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．练一练【证明】a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数．即a，b，c，d中至多有三个是非负数.题型二、利用放缩法证明不等式例2已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an＜32.【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．典例精析【自主解答】 当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，∴1an＝12n2＜12(1)nn＝12·1(1)nn＝121n－1－1n，∴1a1＋1a2＋…＋1an＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1(1)nn＝1＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋121－1n＝32－12n＜32，即1a1＋1a2＋…＋1an＜32.典例精析1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．归纳小结2．求证：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．练一练【证明】 k2＞k(k－1)，∴1k2＜1kk－1＝1k...