压轴小题组合练(B)1.已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________.答案[－2,8]解析当x≤0时，f(x)＝12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2.令f′(x)＝0，则x＝－2(正值舍去)，所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈(－2,0]时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，故函数f(x)在x≤0时的极小值为f(－2)＝－16.当x＞0时，f(x)＝－2x单调递减，f(0)＝0，f(8)＝－16，因此，根据f(x)的图象可得m∈[－2,8].2.已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN分别与AB，AC交于点M，N，且AM＝xAB，AN＝yAC(x，y>0)，则3x＋y的最小值是________.答案＋解析如图， M，N，G三点共线，∴MG＝λGN，∴AG－AM＝λ(AN－AG), G是△ABC的重心，∴AG＝(AB＋AC)，∴(AB＋AC)－xAB＝λ，∴解得(3x－1)(3y－1)＝1.结合图象可知≤x≤1，≤y≤1.令3x－1＝m,3y－1＝n，故mn＝1，x＝，y＝，故3x＋y＝1＋m＋＝＋m＋≥＋2＝＋，当且仅当m＝，n＝时等号成立.3.已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，且x1＋x2<－1，则实数m1的取值范围是________.答案(3,13)解析函数y＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，且x1＋x2<－1，又函数y＝x2＋x＋1的对称轴为x＝－，如图所示，设y＝5x－2与y＝x2＋x＋1的图象的交点分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，当yA0，当y＝ax＋5与y＝4－x2(x<0)相切时，即x2＋ax＋1＝0，由Δ＝a2－4＝0，a>0，得a＝2，符合题意；当y＝ax＋5经过(－2,0)时，a＝也符合题意.②若a<0，当y＝ax＋5与y＝5－ex(x>0)相切时，设切点为(x0,5－)，x0>0，则切线方程为y－(5－)＝－(x－x0)，代入点(0,5)得x0＝1，此时a＝－e，符合题意；当y＝ax＋5经过(ln5,0)时，a＝－也符合题意.③当a＝0时，两图象有两个交点，不合题意.综上，满足条件的所有实数a的取值集合为.5.已知M，N为椭圆＋＝1(a>b>0)上关于长轴对称的两点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，设k1，k2分别为直线MA，NB的斜率，则|k1＋4k2|的最小值为________.答案解析设M(x0，y0)，N(x0，－y0)，∴k1＝，k2＝，∴＝＝，∴|k1＋4k2|＝≥2＝4，0ex0ex0ex2由题意得y＝(a2－x)，所以|k1＋4k2|≥4＝4＝.6.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝sin2C－sinAsinB，则sin2A·tan2B的最大值是________.答案3－2解析由正弦定理，得a2＋b2＝c2－ab，由余弦定理，得cosC＝＝－， 0＜C＜π，∴C＝，A＝－B,2A＝－2B,∴sin2A·tan2B＝cos2B·＝＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当cos2B＝时取等号，即sin2A·tan2B的最大值是3－2.7.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.答案5－2解析设AF1＝AB＝m，则BF1＝m，AF2＝m－2a，BF2＝m－2a， AB＝AF2＋BF2＝m，∴m－2a＋m－2a＝m，解得4a＝m，∴AF2＝m，在Rt△AF1F2中，由勾股定理得4c2＝m2. 4a＝m，∴4c2＝×8a2，∴e2＝5－2.8.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1，过点F，F1的直线与抛物线在第一象限的交点为M，且抛物线在点M处的切线与直线y＝－x垂直，则ab的最大值为________.答案解析由题意可知，直线FF1的方程为y＝－x＋1，由得xM＝，又由x2＝4y，即y′＝x，因此×＝－1，即c＝，所以a2＋b2＝3，又a2＋b2≥2ab，即3≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号，即(ab)max＝.39.点M(3,2)到抛物线C：y＝ax2(a>0)准线的距离为4，F为抛物线的焦点，点N(1,1)，当点P在直线l：x－y＝2上运动时，的最小值为________.答案解析 点M(3,2)到抛物线C：y＝ax2(a>0)准线的距离为4，∴2＋＝4，∴a＝，∴抛物线C：x2＝8y，直线l：x－y＝2与x轴交于A(2,0)，则FA⊥l...
