高考专题突破四高考中的立体几何问题1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为________.答案平行解析如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE，则EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________.答案②③解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为________.答案66解析如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.1故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝________.答案2解析连结AC交BD于点O，连结EO，取VE的中点M，连结AM，MF， VC＝3EC，∴VM＝ME＝EC，又AO＝CO，∴AM∥EO，又EO⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE，又AF∥平面BDE，AM∩AF＝A，∴平面AMF∥平面BDE，又MF⊂平面AMF，∴MF∥平面BDE，又MF⊂平面VBC，平面VBC∩平面BDE＝BE，∴MF∥BE，∴VF＝FB，∴＝2.5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则直线PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________.(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析①因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.②因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.2又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.题型一求空间几何体的表面积与体积例1(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′-ABCFE的体积.(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得＝＝.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝××2＝.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行3求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.解(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，则正棱锥侧面的斜高为＝.∴S侧＝3××2×＝9.∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.(2)设正三棱锥P－ABC的内切球的球心为O，连结OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2)r.又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，∴(3＋2)r＝2，得r＝＝＝－2.∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.4题型二空...
