第57课直线与圆的位置关系一、填空题1.设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则AB=.2.直线x-3y=0截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是.3.(2014·烟台模拟)若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为.4.(2014·池州一中)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,那么圆C的方程为.5.(2014·湖北卷)若直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.6.(2014·全国卷)已知直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则直线l1与l2的方程分别为.7.(2014·江西卷)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为.8.(2014·重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,那么实数a=.二、解答题9.(2014·江苏模拟)已知直线l经过点P3-3,-2且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求直线l的方程.10.已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.(1)求直线l1的方程;(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P',直线QM交直线l2于点Q',求证:以P'Q'为直径的圆C恒过定点,并求出该定点的坐标.111.已知点A(-2,0),B(2,0),C(m,n).(1)若m=1,n=3,求△ABC的外接圆的方程;(2)若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A,B),直线x=2交直线AC于点R,线段BR的中点为D,试判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的结论.2第57课直线与圆的位置关系1.2解析:直线y=x过圆x2+y2=1的圆心C(0,0),则AB=2.2.23解析:圆心(2,0)到直线x-3y=0的距离d=1,故所求的圆心角为23.3.2x-y-1=0解析:x2+y2-6x=0化为标准方程为(x-3)2+y2=9,因为P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,所以圆心与点P确定的直线斜率为1-01-3=-12,所以弦MN所在直线的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.4.(x+1)2+y2=2解析:令y=0,得x=-1,所以圆心C的坐标为(-1,0).因为直线x+y+3=0与圆C相切,所以圆心C(-1,0)到直线的距离等于圆C的半径,即r=|-103|2=2,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.5.2解析:依题意得,圆心O到两直线l1:y=x+a,l2:y=x+b的距离相等,且每段弧长都等于圆周的14,即||2a=||2b=1×sin45°,得|a|=|b|=1,故a2+b2=2.6.7x+y-10=0,x-y+2=0解析:显然两条切线l1,l2的斜率都存在.设过(1,3)的圆x2+y2=2的切线方程为y-3=k(x-1),则圆心(0,0)到直线kx-y+3-k=0的距离等于半径2,即2|3-|1kk=2,解得k=-7或1.所以直线l1与l2的方程分别为7x+y-10=0,x-y+2=0.7.45π解析:由题意知,圆C必过点O(0,0),故要使圆C的面积最小,则点O到直线l的距离为圆C的直径,即2r=45,所以r=255,所以S=45π.8.4±15解析:由题意可知圆C的圆心为C(1,a),半径r=2,则圆心C到直线ax+y-2=0的距离d=2|2-2|1aa.因为△ABC为等边三角形,所以AB=r=2,又AB=222-rd,所以2222|2-2|2-1aa=2,即3a2-8a+1=0,解得a=4±15.9.①当直线l的斜率k不存在时,l的方程为x=-3,代入x2+y2=25,得y1=4,y2=-4,弦长为|y1-y2|=8,符合题意.②当直线l的斜率k存在时,设其方程为y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0.由已知,弦心距为225-4=3,所以233-21kk=3,解得k=-34,此时直线l的方程为y+32=-34(x+3),即3x+4y+15=0.综上,直线l的方程为x+3=0或3x+4y+15=0.10.(1)因为直线l1过点A(3,0),且与圆O:x2+y2=1相切,可设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心O(0,0)到直线l1的距离d=2|3|1kk=1,解得k=±24,故直线l1的方程为y=±24(x-3).(2)对于圆x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,所以直线l2的方程为x=3,设M(s,t),则直线PM的方程为y=1ts(x+1).解方程组3,(1),1xtyxs得P'43,1ts.同理可得Q'23,-1ts.所以以P'Q'为直径的圆C的方程为(x-3)(x-3)+42--1-1ttyyss=0,又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+6-2sty=0,令22-610,0,xyxy解得x=3±22,y=0.所以圆C总过定点,定点坐标为(3±22,0).411.(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意可得4-20,420,1330,DFDFDEF解得D=E=0,F=-4,故△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0,即x2+y2=4.(2)直线CD与圆O相切.证明如下:由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,设点R的坐标为(2,t).因为A,C,R三点共线,所以AC�∥AR�,而AC�=(m+2,n),AR�=(4,t),则4n=t(m+2),所以t=42nm,所以点R的坐标为42,2nm,点D的坐标为22,2nm,直线CD的斜率为k=2-2-2nnmm=2(2)-2-4mnnm=2-4mnm,而m2+n2=4,所以m2-4=-n2,所以k=2-mnn=-mn,则直线CD的方程为y-n=-mn(x-m),化简得mx+ny-4=0,所以圆心O到直线CD的距离d=224mn=44=2=r,所以直线CD与圆O相切.5
