学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．将“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是()A．存在a0，b0∈R，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2B．存在a0＜0，b0＞0，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2C．存在a0＞0，b0＞0，有a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2D．对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2【解析】a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全称命题，隐藏了“对所有a，b∈R”．【答案】D2．下列命题中的真命题是()A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．对任意x∈R,2x＞x2D．对任意x∈R，x2＋2＞0【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0【答案】D3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0＜x0，则綈p为()A．∃x0∈R，sinx0＝x0B．∀x∈R，sinx＜xC．∃x0∈R，sinx0≥x0D．∀x∈R，sinx≥x【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x∈R，sinx≥x.【答案】D4．非空集合A、B满足AB，下面四个命题中正确的个数是()①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1B．2C．3D．4【解析】根据AB知，①②④正确，③错误．【答案】C5．下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，tanx＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg＝－1＜1；显然D正确．【答案】B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】1①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】改变量词并否定判断词．【答案】存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意可知，命题“对任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；(2)存在实数x，使得＝.【解】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴≤＜.故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】(1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使＞2【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立2【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.要使上式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．∵f(t)＝＝2＋＝2－，且∈，∴f(t)min＝f(2)＝.∴a2－a＜.∴－＜a＜.所以a的取值范围是.3
