高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算知识导航 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

3.2复数的四则运算知识梳理1.两个复数相加(减)就是把______________________________________________________,即a+bi±(c+di)=______________________.2.复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作,即=____________.3.一般地，如果n∈N*,我们有(1)i4n=_________1,i4n+1=_____________,i4n+2=____________-1,i4n+3=____________.(2)设w=,则1+w+w2=___________.知识导学要学好本节内容，除熟记一些常用结果〔in的周期性、w的性质及wn+wn+1+wn+2=0(n∈N)(w为1的虚数立方根)〕，还要在求解计算时，充分利用i、w的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、w的计算问题.在复数问题中，整体观点是常用的解题技巧，要注意学会这种解题技巧.疑难突破本节的难点是如何将复数的除法进行简便运算，学习本节内容，能培养怎样的数学思想.剖析：在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算将十分麻烦，我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简.学习本节内容主要培养转化、数形结合的数学思想.典题精讲【例1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i).思路分析：利用复数加、减法法则进行计算.解：(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.绿色通道：复数的加、减法运算，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练:已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B【例2】已知x、y∈R，且,求x、y的值.思路分析：复数通分太麻烦，可将每个分母的复数化为实数，再进行运算.解：可写成，5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴绿色通道：本题为复数的除法运算，将每个分式的分母同乘以分母的共轭复数，再由复数相等的定义，转化为实数方程组.变式训练:求的值.1解：原式=.【例3】计算.思路分析：利用i的幂的周期性，(1±i)2=±2i便可简便地求出结果.解：原式=i501×4+2+(4i)4-()25=-1+256-i=255-i.绿色通道：注意复数计算中常用的整体.①i的性质：i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);②(1±i)2=±2i,;③设w=,则w3=1,w2+w+1=0,w2=w,=1.变式训练:计算.解：原式==i.问题探究问题：在复数范围内是否对任意的一元二次方程都有根呢？导思：这里需要分成实系数的一元二次方程与复系数的两种类型考虑.探究：(1)对于实系数的我们可以用求根公式直接求出；(2)对于复系数的需要设出根，代入方程，然后解方程组求得.2