板块命题点专练(六)简单的三角恒等变换及解三角形1．(2015·重庆高考改编)若tanα＝2tan，则＝________.解析： cos＝cos＝sin，∴原式＝＝＝.又 tanα＝2tan，∴原式＝＝3.答案：32．(2015·江苏高考)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.答案：33．(2015·北京高考)已知函数f(x)＝sincos－sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)由题意得f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.4．(2015·四川高考)已知A，B，C为△ABC的内角，tanA，tan是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2或p≥.由根与系数的关系，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，从而tan(A＋B)＝＝－＝－.所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°.(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，解得B＝45°或B＝135°(舍去)．于是A＝180°－B－C＝75°.则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－.1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.解析：∠C＝180°－75°－45°＝60°，1由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.答案：22．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b＜c，则b＝________.解析：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.答案：23．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.解析：在△ABC中，根据正弦定理＝，有＝，可得sinB＝.因为∠A为钝角，所以∠B＝.答案：4．(2015·福建高考)若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.解析：∠B＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得＝，即＝，解得BC＝.答案：5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，求sinA和c的值．解：在△ABC中，由cosB＝，得sinB＝，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝.因为sinC＜sinB，所以C＜B，可得C为锐角，所以cosC＝，因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.由＝，可得a＝＝＝2c.又ac＝2，所以c＝1.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理，得＝，＝.2因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝cosB＋sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝，所以∠B＝30°8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan＝2.(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．解：(1)由tan＝2，得tanA＝，所以＝＝.(2)由tanA＝，A∈(0，π)，得sinA＝，cosA＝.由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.由sinC＝sin(A＋B)＝sin，得sinC＝.设△ABC的面积为S，则S＝absinC＝9.9．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.命题点三三角函数与解三角形的综合问题难度：高、中命题指数：☆☆☆☆☆1.(2015·山东...
