第四节空间几何体的表面积与体积课时作业练1.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知一个圆锥的母线长为2,其侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为.答案√3π3解析设圆锥底面圆的半径为r,则2πr=2π,r=1,则圆锥的高为√3,体积为√3π3.2.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43解析本题考查组合体体积的计算.多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为√2,高为1,∴其体积为13×(√2)2×1=23,∴多面体的体积为43.3.(2018常州教育学会学业水平检测)已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台的体积是7,则该圆台的高为.答案3解析设小圆锥的高为h,由题意知其体积是1,则(h6)3=18,h=3,则圆台的高为3.4.(2017镇江高三期末)已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为√6,则该正四棱锥的体积为.答案831解析正四棱锥的高h=√(√6)2-(√2)2=2,则体积V=13×22×2=83.5.(2018江苏高考信息预测)将两个大小相同的正方体石块分别打磨成体积最大的球和圆柱,则得到的球的表面积与圆柱的侧面积之比为.答案1∶1解析设正方体的棱长为2,则体积最大的球的半径为1,球的表面积为4π,体积最大的圆柱的底面圆半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为4π,所以球的表面积与圆柱的侧面积之比为1∶1.6.(2018苏锡常镇四市高三调研)在棱长为2的正四面体PABC中,M,N分别为PA,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥D-MBC的体积为.答案√29解析VD-MBC=VM-BDC=13VM-BPC=16VA-PBC=16×√212×23=√29.7.(2018江苏无锡高三期中)半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是.答案4π-3√3解析设正三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的中心分别为O1,O2(如图).设正三棱柱的底面边长和高分别为x和h,则O2A=√33x.在Rt△OAO2中,14h2+13x2=1,即h2=4-43x2,则正三棱柱的侧面积S=3xh=3√x2(4-43x2)=2√3√x2(3-x2)≤2√3·x2+3-x22=3√3,当且仅当x2=3-x2,x=√62时取等号,则正三棱柱的侧面积S的最大值是3√3,此时球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-3√3.28.(2018江苏高考数学模拟)四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥平面ABC,且AB=BC=CD=1cm,则四面体ABCD的外接球的表面积为cm2.答案3π解析四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,则AB⊥BD,CD⊥平面ABC,则CD⊥BC,CD⊥AC,又AB=BC=CD=1cm,则BD=√2cm,AD=√3cm,由题意可知四面体ABCD的外接球的球心在AD的中点,即球的直径2R=AD=√3cm,则表面积为4πR2=3πcm2.9.(2017江苏盐城高三模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,P,Q分别为棱CC1,BC的中点,则三棱锥A1-B1PQ的体积为.答案√32解析取棱B1C1的中点E,连接A1E,由△A1B1C1是等边三角形得A1E⊥B1C1,A1E=√3,又ABC-A1B1C1是直三棱柱,则B1B⊥平面A1B1C1,则B1B⊥A1E,又B1B∩B1C1=B1,B1B,B1C1⊂平面B1BCC1,则A1E⊥平面B1C1CB,△B1PQ的面积为4-2×12×2×1-12×1×1=32,则三棱锥A1-B1PQ的体积为13S△B1PQ·A1E=13×32×√3=√32.10.直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a,底面ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=2BC,A1B⊥B1C,求此三棱柱的表面积.解析连接BC1. 三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴A1C1⊥C1C. AC⊥BC,AC∥A1C1,BC∥B1C1,∴A1C1⊥B1C1. B1C1∩C1C=C1,B1C1⊂平面B1BCC1,C1C⊂平面B1BCC1,∴A1C1⊥平面B1BCC1,又B1C⊂平面B1BCC1,∴A1C1⊥B1C. B1C⊥A1B,A1C1∩A1B=A1,A1C1⊂平面A1BC1,A1B⊂平面A1BC1,∴B1C⊥平面A1BC1,又BC1⊂平面A1BC1,∴B1C⊥BC1.3 四边形B1BCC1是矩形,∴四边形B1BCC1是正方形,∴BC=B1B=a,∴AC=2BC=2a,∴AB=√a2+(2a)2=√5a,∴S直棱柱表=S直棱柱侧+2S△ABC=(a+2a+√5a)a+2a2=(5+√5)a2.11.(2017江苏盐城下学期期末)如图,已知平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在的平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点.(1)求证:GH∥平面CDE;(2)若CD=2,DB=4√2,求四棱锥F-ABCD的体积.解析(1)证明:连接FC,由题意知EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.又EF=AD=BC,∴四边形EFBC是平行四边形,又H为BE的中点,∴H为FC的中点.又G是FD的中点,∴HG∥CD. HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,∴GH∥平面CDE.(2) 平面ADEF⊥平面ABCD,交线为...
