第1章不等关系与基本不等式学业分层测评1实数大小的比较不等式的性质北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是()A．a＋c＞b＋dB．a－c＞b－dC．ac＞bdD．＞【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.【答案】A2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当a＞0且b＞0时，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a＋b＞0，ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.【答案】C3．设角α，β满足－<α<β<，则α－β的范围是()A．－π<α－β<0B．－π<α－β<πC．－<α－β<0D．－<α－β<【解析】∵α<β，∴α－β<0.①又－<α<，－<β<，∴－<－β<，∴－π<α－β<π，结合①得－π<α－β<0，故选A.【答案】A4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是()A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定【解析】M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2.∵x≠2或y≠－1，∴x－2≠0或y＋1≠0，∴(x－2)2或(y＋1)2均非负且至少一个大于零，∴M＞N.【答案】A5．设a，b为非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是()【导学号：94910002】A．a2＜b2B．a2b＜ab2C.＜D．＜【解析】取a＝－2，b＝1时，有a＜b，显然A，B，D错误．对于C，∵－＝＜0.∴＜总成立，C正确．【答案】C二、填空题6．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是________．1【解析】∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.【答案】(－3,3)7．给出四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.能得出＜成立的有________．【解析】＜⇔－＜0⇔＜0，∴①②④可推出＜成立．【答案】①②④8．若a＞1，b＜1，则ab＋1与a＋b大小关系为ab＋1______a＋b.【解析】ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)＝(a－1)(b－1)，∵a＞1，b＜1，∴(a－1)(b－1)＜0，∴ab＋1－a－b＜0，ab＋1＜a＋b.【答案】＜三、解答题9．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c的大小．【解】b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0.∴b≥c.由题意可得方程组解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.∴c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，∴c＞a，∴b≥c＞a.10．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，求证：＞.【证明】因为a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，所以＞，所以＜.故＋1＜＋1，即0<＜，所以＞.能力提升]1．设a，b为实数，则“0
0，b>0时，b<；当a<0，b<0时，b>.∴“0b>0，则下列各式中恒成立的是()A.>B．>C．a＋>b＋D．aa>bb【解析】选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知选项A不成立．利用不等式的性质可知，当a>b>0时，<，由此可知，选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a>b>0，则aa＝bb，故选项D不恒成立．故选B.【答案】B3．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________.【导学号：94910003】【解析】由4≤≤9，得16≤≤81.又3≤xy2≤8，∴≤≤，∴2≤≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时＝27.∴的最大值是27.【答案】274．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．【解】f(a)－f(b)＝－＝.∵a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，f(a)＜f(b)．当m＝0时，f(a)＝f(b)．当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．3
