第五节数列的综合应用课时作业练1.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=.答案n(2n+3)解析设f(x)=ax+b(a≠0),由f(0)=1,得b=1.又f(1),f(4),f(13)成等比数列,所以[f(4)]2=f(1)·f(13),即(4a+1)2=(a+1)(13a+1),解得a=2,则f(x)=2x+1,所以f(2)+f(4)+…+f(2n)=2×(2+4+6+…+2n)+n=n(2n+3).2.(2018江苏扬州高三模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3a22,则S3=.答案1327解析设等比数列{an}的公比为q,q>0,由题意得4a4+6a5=2a3,即4a3q+6a3q2=2a3,解得q=13(舍负),则a3=13a2=3a22,所以a2=19,所以a1=13,a3=127,则S3=13+19+127=1327.3.(2018江苏南京秦淮中学月考)若方程x2-x+m=0和x2-x+n=0的四个实根构成一个首项为15,第4项为45的等差数列,则|m-n|=.答案225解析由题意知构成的等差数列的首项是15,第4项是45,则公差d=15,第2项是25,第3项是35,则|m-n|=|15×45-25×35|=225.4.(2019江苏淮阴中学高三模拟)正项等比数列{an}中,a1=12,a3+a5=10,则log2a1+log2a2+…+log2a10=.答案351解析设正项等比数列{an}的公比为q,q>0,则a3+a5=12q2+12q4=10,则q=2,an=12×2n-1=2n-2,则log2an=n-2,则log2a1+log2a2+…+log2a10=-1+0+1+…+8=10×72=35.5.(2018常州教育学会学业水平检测)各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为.答案√3解析设正项等比数列{an}的公比为q,q>0,则由a2a3a4=a2+a3+a4,得a33=a3q+a3+a3q,则a32=1q+q+1≥3,又a3>0,则a3≥√3,当且仅当q=1时取等号,则a3的最小值为√3.6.(2018江苏南京多校高三段考)已知△ABC的三边长构成公比为√2的等比数列,则△ABC最大角的余弦值为.答案-√24解析设三角形的三边长分别为a√2,a,√2a(a>0),则最大角的余弦值为a22+a2-2a22×a2√2=-√24.7.(2017江苏六校联考)已知函数f(x)=x3+x,等差数列{an}满足:f(a2-1)=2,f(a2016-3)=-2,Sn是其前n项和,则S2017=.答案4034解析由函数f(x)=x3+x可得f(x)为奇函数,且单调递增.由f(a2-1)=2,f(a2016-3)=-2可得f(a2-1)=f(-(a2016-3)),即a2-1=-(a2016-3),所以a2+a2016=4.从而S2017=a1+a20172×2017=a2+a20162×2017=2×2017=4034.8.(2018江苏苏州月考)已知数列{an}中,a1=1且an+1=an+2n+1,设数列{bn}满足bn=an-1,对任意正整数n,不等式1b2+1b3+…+1bncn成立.解析(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0). a1,a3,a7成等比数列,∴a1(a1+6d)=(a1+2d)2,∴2a1d=4d2, d≠0,∴a1=2d,又a5=a1+4d=6,∴d=1,a1=2,∴an=2+(n-1)×1=n+1.(2)bn=an2n=n+12n,Tn=221+322+423+…+n+12n,12Tn=222+323+…+n2n+n+12n+1,∴12Tn=1+122+123+…+12n-n+12n+1=1+14(1-12n-1)1-12-n+12n+1=32-n+32n+1,4∴Tn=3-n+32n.(3)cn=4n+(-1)n-1λ·2n+1,cn+1=4n+1+(-1)nλ·2n+2,对...
