高中数学 第二章 数列 2.1 数列自主训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

2.1数列自主广场我夯基我达标1.如果无穷数列{an}的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为()A.ZB.NC.N+D.N+的有限子集{1,2,…,n}思路解析:任意数列的定义域是N+或N+的有限子集{1,2,…,n}.由于这个数列是无穷数列，从函数观点来看，定义域是N+.答案:C2.下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,1,…的通项公式的是()A.an=(-1)nB.an=(-1)n+1C.an=(-1)n-1D.an=为偶数为奇数nn,1,1思路解析:令n=1，对于an=(-1)n+1，a1=(-1)1+1=1，同样对于an=(-1)n-1，an=1,n为奇数,-1,n为偶数中均有a1=1，符合题意;而在an=(-1)n中，a1=(-1)1=-1,不符合数列首项.答案:A3.设数列11,22,5,2,…,则52是这个数列的()A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项思路解析:数列通项公式为an=3n-1，令3n-1=25，解得n=7.答案:B4.已知数列{an}的首项a1=1，且an=3an-1+1(n≥2)，则a4为()A.13B.15C.30D.40思路解析:利用递推式可逐个求出a2,a3,a4.答案:D5.若数列{an}的通项公式是an=3-2n，则a2n=_____________，32aa=_____________.思路解析:根据通项公式,可以求出这个数列中的任意一项. an=3-2n，∴a2n=3-22n=3-4n,5123233232aa.答案:3-4n516.已知数列{an}中，an=2n+1.数列{bn}中，b1=a1，当n≥2时，bn=1nba，则b4=___________，b5=___________.思路解析:题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系,可以逐个推导. an=2n+1,bn=1nba(n≥2),∴b1=a1=3,b2=1ba=a3=7,b3=2ba=a7=15,b4=3ba=a15=31,b5=4ba=a31=63.答案:316317.a1=1,an+1=an+2n(n∈N+),则这个数列的第5项为______________.思路解析: an+1=an+2n,∴an+1-an=2n.∴a5=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)=1+2×1+2×2+2×3+2×4=1+2×(1+2+3+4)=21.答案:218.记凸n-1边形的内角和为an-1(n≥3)，凸n边形的内角和为an，试写出an与an-1的关系式，找到它们之间的递推关系式，并且写出这个数列的通项公式.思路分析:关键要找到凸n-1边形与凸n边形之间图形的不同，它们之间只是差了个三角形，这样我们可以得到递推关系式，然后根据所得到的递推关系式可以归纳总结出这个数列的通项公式.但是要注意n的范围，n≥3.解:由凸n-1边形变为凸n边形，增加了一个三角形，故an=an-1+π；当n=3时，a3=π，接着分别得到a4=a3+π=2π，a5=3π，a6=4π，…,可归纳出通项公式an=(n-2)π(n≥3).我综合我发展9.(2006广东高考，14)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=____________；f(n)=____________(答案用n表示).图2-1-2思路解析:f(1)=1，观察图象可知，f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是2)1(nn，所以f(5)=f(4)+15=35.利用归纳推理便可得f(n)=6)2)(1(nnn.答案:106)2)(1(nnn10.若{an}的前8项的值互异，且an+8=an，对于n∈N+都成立，则下列数列中，可取遍{an}前8项的值的数列为()A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}思路解析: k∈N+，当k=1,2,3…时，a2k+1、a4k+1、a6k+1均取奇数项，而无偶数项，∴{a2k+1}、{a4k+1}、{a6k+1}不符.而当k取以上值时，{a3k+1}可以取遍前8项.实际上，由an+8=an，可以知道这个数列是个循环数列，也可称为周期数列，每隔8项，数列的项就重复出现.具体情况如下：在{a3k+1}中，当k=1,2,3,4,5,6,7,8时，分别得到：a4,a7,a10,a13,a16,a19,a22,a25,a10=a2+8=a2,a13=a5+8=a5,a16=a8+8=a8,a19=a3+2×8=a3,a22=a6+2×8=a6,a25=a1+3×8=a1,这样，这个数列的项包括了数列{an}中的前8项不同的取值.答案:B11.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj(即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a2=...