高中数学 第四章 数学史上的丰碑-微积分 2 圆周率同步精练 北师大版选修3-1-北师大版高二选修3-1数学试题VIP免费

圆周率练习1．关于圆周率的最早记录出自()A．《周髀算经》B．《九章算术》C．莱茵德草卷D．《几何原本》2．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是()A．刘徽B．阿基米德C．祖冲之D．卡瓦列利3．最早用穷竭法研究圆周率的数学家是()A．阿基米德B．安提丰C．刘徽D．布里松4．证明π是无理数的数学家是()A．高斯B．阿基米德C．兰伯特D．林德曼5．圆周率的计算是我国古代数学史上的伟大的成就之一，很久以前我们的祖先就发现圆的周长和直径之比是一个定数，这个定数被命名为圆周率．那么圆周率在不断地精确过程中有哪些突出的成就呢？6．查找资料，了解阿基米德与穷竭法．7.如图所示，已知直线y=2x+3与抛物线y=x2交于A，B两点，试用阿基米德穷竭法求抛物弓形AOB的面积．1参考答案1．答案：C2．答案：C3．答案：B4．答案：C5．答：①《周髀算经》，采用的圆周率是“周三径一”，即π＝3；②魏晋时期刘徽创立割圆术，为计算圆周率建立了严密理论和算法，求出π≈3.1416，采用了极限思维，是近代微积分思想的萌芽；③祖冲之求出的圆周率，在3.1415926和3.1415927之间，并且确立两个分数形式的近似值：约率和密率，祖冲之的成果在世界上一直领先了1000年．6．答：在古希腊，利用穷竭法作出重要贡献的是阿基米德，阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)出生于意大利西西里岛的叙拉古，是古希腊最杰出的数学家、力学家，他的几何著作成为古希腊数学的顶峰，他的数学著作主要有《圆的度量》《论球与圆柱》《抛物线求积法》《论螺线》等．在这些著作中，阿基米德巧妙地将穷竭法与原子论观点结合起来，通过严密的计算，获得了许多重要的结果，例如他在《抛物线求积法》一书中，使用穷竭法求出了抛物线弓形的面积，他的方法简述如下：作三角形ABC，设其面积为S1，其中l1∥AC，B是切点，再作抛物线的切线l2和l3使之分别平行于AB和BC，切点分别是D和E，再作三角形ADB和三角形BEC(如图)，设两个三角形面积之和为S2，用A1表示S1，A2表示S1+S2，那么用完全同样的方法可以得到An=S1+S2+…+Sn.很明显，只要取n足够大，弓形面积S与An的差S-An就可以任意小．由抛物线的性质可知S1=4S2，∴An＝S1＋.最后，阿基米德用反证法证明了S＝.特别要提到的是，阿基米德在计算以他的名字命名的曲线——阿基米德螺线第一周围成的区域的面积时，使用了类似于现代积分学中的大和、小和的概念．他的用法，用今天的符号表示就是：将2πn等分，在每一部分上作出顶角的内接圆扇形和外接圆扇形(如下图)，它们的面积之和，分别用An与Sn表示，显然所求之面积S满足不等式An＜S＜Sn，经过计算An＝，Sn＝，于是，对任意的n，有An＜＜Sn.阿基米德经过猜测，并使用反证法进行了证明，得出螺线第一周所围成的面积S＝.2阿基米德突破了传统的有限运算，大胆地采用了无限逼近的思想，从而将穷竭法发展到了高峰，但是由于当时没有极限概念，不承认无限，因此，穷竭法仍是有限的形式，并且局限在几何直观上，运算也很烦琐，所以自阿基米德之后，很长时间没有被人重视．尽管这种方法有很大的缺点，但是，他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽．7.分析：可以求出弦AB的中点C，过C作y轴的平行线交抛物线与点D，这样抛物弓形AOB的面积是△ABD面积的，因此我们只要求△ABD的面积即可．解：设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有解得∴A(－1,1)，B(3,9)，中点C(1,5)．过中点C(1,5)作y轴的平行线交抛物线于D(1,1)，再求△ABD的面积．|AB|=点D到直线AB的距离为d＝.∴S△ABD＝|AB|·d＝＝8.∴抛物弓形AOB的面积为S＝S△ABD＝.3