高中数学3.2抛物线第2课时同步精练北师大版选修2-11．抛物线y2＝ax(a≠0)的准线是x＝－1，那么它的焦点坐标是()A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(－1,0)2.如图，F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=0，则||＋||＋||等于()A．6B．4C．3D．23．已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点且与它交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则|AB|等于()A．7B．5C．8D．104．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．B．8C．D．165．过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为()A．45°B．60°C．90°D．120°6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这条抛物线的方程为y2＝10x的条件是________(要求填写适合条件的序号)．7．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝x上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是______．8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K(－1,0)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)求证：点F在直线BD上；(2)设·＝，求直线l的方程．11．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：(1)x1x2为定值；1(2)＋为定值．2参考答案1.解析： 准线为x＝－＝－1，∴a＝4，即y2＝4x.∴焦点坐标为(1,0)．答案：A2.解析：由＋＋＝0，知F为△ABC的重心，由抛物线方程知，F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∴x1＋x2＋x3＝3.又||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝3＋3＝6.答案：A3.解析：焦点为F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2×3＝6，所以|AB|＝|FA|＋|FB|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝10.答案：D4.解析：直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝，所以点P的坐标为(6，)．由抛物线的性质，得|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.答案：B5.解析：设抛物线的方程为y2=2px(p＞0)．如图， |AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，∴∠AA1F=∠AFA1，∠BFB1=∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO=∠FA1A，∠B1FO=∠FB1B.∴∠A1FB1=∠AFB=90°.答案：C6.解析：由抛物线的方程为y2＝10x，知它的焦点在x轴上，∴②适合．又 抛物线的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也适合．而①显然不适合，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.答案：②⑤7.解析：有两个顶点关于x轴对称，进而得到两边所在直线的倾斜角是和.可设三角形的边长为a，x轴上方的顶点为，代入抛物线方程，得x0＝.3由a＝，得边长a＝12.答案：128.解析：l：x＝－，过M(1,0)且斜率为的直线为y＝(x－1)．联立解得∴点A的坐标为.又 ＝，∴M点为AB的中点，∴B点坐标为.将B代入y2＝2px(p＞0)，得32＝2p，解得p＝2或p＝－6(舍去)．答案：29.解：如图，依题意设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，则经过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义，得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，∴x1++x2+=8.①又点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求抛物线的方程为y2＝4x.当抛物线的方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线的方程为y2＝－4x.10.解：设直线l与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点D的坐标为(x1，－y1)．由题意，得l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·.令y＝0，得x＝＝1.4所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1...
