高中数学 电子题库 第四章§1 函数的单调性与极值1.1 北师大版选修1-1VIP专享VIP免费

高中数学电子题库第四章§1函数的单调性与极值1.1北师大版选修1-1(2012·南昌质检)如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是()A．递增B．递减C．先减后增D．先增后减解析：选A.∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．已知函数f(x)＝＋lnx，则有()A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)解析：选A.在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.函数f(x)＝xlnx的单调递增区间为________．解析：f′(x)＝1＋lnx，令1＋lnx＞0得x＞，∴f(x)的单调递增区间为.答案：(2012·淮北检测)函数f(x)＝＋x(x＞0)的单调递减区间是________．解析：f′(x)＝－＋1(x＞0)，由f′(x)＜0，得0＜x＜.答案：(0，)[A级基础达标]函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.f′(x)＝2－cosx，因为cosx∈[－1，1]，所以2－cosx＞0恒成立，即f′(x)＞0恒成立，故选A.(2012·蚌埠调研)函数y＝x2－lnx的单调减区间为()A．(0，1)B．(0，1)和(－∞，－1)1C．(0，1)和(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选A.y′＝x－，令y′＜0，即x－＜0，解得0＜x＜1或x＜－1，又因为函数的定义域为(0，＋∞)，所以函数的单调减区间为(0，1)，故选A.函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A.∪[2，3)B.∪C.∪[1，2)D.∪∪[2，3)解析：选A.由y＝f(x)的图像可知，函数的递减区间有和[2，3)，故f′(x)≤0的解集为∪[2，3)．函数f(x)＝excosx，则f与f的大小关系为________．解析：∵f′(x)＝ex(cosx－sinx)，∴是函数f(x)的一个单调递增区间，又0＜＜＜，∴f＜f.答案：f＜f(2011·高考江西卷改编)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．解析：由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，得a＞－.所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．答案：(2012·上饶调研)证明函数y＝x＋在(2，＋∞)上是递增加的．证明：由导数公式表和求导法则可得，y′＝1－＝，当x∈(2，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝x＋在(2，＋∞)上是增加的．[B级能力提升]若y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是()A．b＜－1，或b＞2B．b≤－1，或b≥2C．－1＜b＜2D．－1≤b≤2解析：选D.y′＝x2＋2bx＋(b＋2)，由题意知x2＋2bx＋b＋2≥0在x∈R上恒成立，故4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.当b＝－1时，y′＝x2－2x＋1，显然符合题意；当b＝2时，y′＝x2＋4x＋4，显然符合题意．故－1≤b≤2.2设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是下列图中的()解析：选B.由f′(x)的图像可知：x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，则原函数f(x)为减函数，x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，则原函数f(x)为增函数，x∈(1，＋∞)时f′(x)＜0，则原函数为减函数．B图像适合．(2012·焦作调研)设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，则a与b的大小关系为________．解析：设函数F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上为增函数，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.答案：a＞b已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内递增，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)＞0得ex＞a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x＞lna.综上可得，当a≤0时，f(x)的递增区间为R；当a＞0时，f(x)的递增区间为(lna，＋∞)．3(2)∵f′(x)＝ex－a.又f(x)在R上递增，∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.(创新题)设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间．解：f′(x)＝ax2＋1.若a≥0，f′(x)＞0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，即只有一个单调区间(－∞，＋∞)，∴a＜0.当a＜0时，由f′(x)＞0得－＜x＜，f′(x)＜0得x＜－或x＞，即a＜0时，f(x)在上为增函数，在，上为减函数．综上可知，a＜0时有3个单调区间，分别是、、4