第十六节数列的综合应用[自我反馈]1．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝()A．－1或2B．0或2C．2D．1解析：选C由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为()A．{4,5}B．{4,32}C．{4,5,32}D．{5,32}解析：选Can＋1＝注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32.3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11.答案：－114．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.答案：65．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1) 数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)．又数列{bn}为等比数列，设公比为q， b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．1(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n.所以Tn＝2n＋1－2－n.考向一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016·济南模拟)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)求数列{bn}的前n项和.【母题变式】1.若本例题条件“{bn-an}是等比数列”变为“{bn-an}是等差数列”,其他条件不变,求数列{bn}的通项公式.2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列”变为“an+2an-1=”,求数列{bn}的通项公式.2【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=()A.2B.3C.5D.6【加固训练】1.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为()A.-2B.1C.-2或1D.2或-12.(2016·泰安模拟)已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.3(2)设cn=anan+1,求数列的前n项和Tn.因为d>0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).考向二数列中的图表问题【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910……………按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.(2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4…4a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………求数列{an,2}的通项公式.【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造...
