对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的初探VIP专享VIP免费

对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的初探——探索法向量在立体几何中的应用人民教育出版社课程教材研究所与中学数学课程教材研究开发中心编著的《普通高中课程标准实验教科书选修2-1》第三章空间向量与立体几何，第2小节立体几何中的向量方法一节，教科书通过安排了“思考”、“探究”等栏目，讨论用向量表示空间中的点、直线与平面的位置，介绍了直线的方向向量与平面的法向量，以及用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等，在此内容之后配套了相关的练习，为用向量方法解决立体几何问题作了铺垫.教科书接下来通过四个逐步深入展开的例题讨论本节主题，即立体几何中的向量方法，其中例1、例2直接利用向量运算，例3、例4把向量方法与坐标方法相结合，最后以框图形式引导学生进行小结，使学生对本节内容主题的认识进一步深化，提高抽象概括能力.本节内容能很好使学生理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（三步曲）.但笔者认为，教科书本节内容中的例题4，在教学中可以更好地加以整合及补充，以进一步提高学生解决空间几何问题的能力.以下就例题4及其相关的建议及整合补充进行说明：Ⅰ例题4再现例4如图1，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.⑴求证：//平面；⑵求证：平面；⑶求二面角的大小.解：如图2所示建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设.⑴证明：连接，交于点，连接.依题意得，，.因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，故点的坐标为，且，.所以，即//.而平面，平面，因此//平面⑵证明：依题意得，,又，故,所以由已知，且，所以平面.⑶解：已知，由⑵可知，故是二面角的平面角，设点的坐标为，则.因为，所以，即，，，因为，所以，-1-ABCDPEF图1ABCDPEFzxy图2G所以，点的坐标为，由点的坐标为，所以，因为，所以，即二面角的大小为.Ⅱ关于例4的建议自2004年以来，全国轰轰烈烈进行着高中新课程改革，向量是此次新课程增加的基础内容之一.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.它的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.例4的三个小问，分别涉及证明直线与平面平行、垂直，计算二面角的大小，这三个方面的问题都可以利用向量解决.前两问的证明教材使用坐标法，由向量表示转到有关判定定理.该问在教学时教师可以组织学生讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性.第⑶小问教科书采用了先找出所求二面角的平面角，再用向量方法通过求平面角的大小来求二面角的大小.但笔者在教学的过程中，发现对于求二面角的第⑶个小问，学生不容易由第⑵问得到就是二面角的平面角，而且该问如果没有第⑵小问做铺垫，学生不容易找出该二面角的平面角.笔者认为，本小节前面教科书花了较大篇幅介绍并学习了直线的方向向量及平面的法向量，这两种向量的利用在解决一些问题时能够把复杂的问题简单化，尤其是在解决有关二面角的问题时，平面的法向量的利用能让许多不擅长分析证明，擅长计算的学生多了一种解题的选择，因为用法向量去求二面角的大小可以不用找出或构造出二面角的平面角并证明求解，它只需通过计算并观察就可求出二面角的大小，所以如果教师在教学时就适当给学生补充利用法向量解题的例子，学生可以在掌握之后并加以使用必能提高解题效率.所以，笔者在上述教材分析之后，补充了该小问法向量的教学，其解法如下：依题意，有，，，则，，设为平面的一个法向量，则即解得,令，得为平面的一个法向量.同法可求平面的一个法向量为.∴，根据图形可观察得到二面角是锐二面角，∴二面角的大小为.总之，设、分别是二面角的两个面、的法向量，则，就是二面角的平面角或其补角.Ⅲ关于例题4的补充在笔者随机翻阅的07、08两年共38套的高考题中，有22套高考题均有考核二面角的大-2-lmn小或其三角函数.所以教师应在平时多给学生时间练习有关二面角的习题，对学生在考试中立体几何方面多拿分将有所帮助.此外，38套高考题中，均有不同程度地考核到求线面角、点面距等有关问题.故笔者认为，继第⑶小问之后，教师可以补充以下几个小问，即：⑷求面与...