从三角形到四面体——三角形中的一些结论在四面体中的类比江苏省丹阳高级中学史建军(212300)开普勒(Kepler)曾经说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”平面上的一个三角形可与空间的一个四面体作类比。在平面上，至少三条直线可以围成一个三角形，在空间，至少四张平面可以围成一个四面体，就两者以数目最少的简单分界为元素所围成这一点来说，三角形与平面的关系同四面体与空间的关系是一样的，也就是四而体与三角形之间有着必然的联系，它们既对立又统一，在一定条件下可相互转化.平面几何中三角形有很多重要的结论，那么三角形有哪些结论可以类比到立体几何中去呢？1.三角形内角和定理的推广三角形三个内角的和等于.将这一结论类比推到空间得到相应的结论是：定理1四面体四个而上所有角的和等于720°.2.勾股定理的推广直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方.将这一结论类比推到空间得到相应的结论是：定理2如图1，在四面体S−ABC中，SA，SB，SC两两垂直，则有：证明：设SA，SB，SC的长分别为a,b,c，则有：=作SD⊥AB，垂足为D，连结CD，则CD⊥AB在Rt△ASB中，由等面积法及勾股定理得：在Rt△CSD中，由等面积法及勾股定理得：1即.3.三角形三边关系定理的推广三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。这一定理类比到空间得到相应的结论是：定理3四面体三个面面积的和大于第四面；两面面积的差小于另两面面积的和.证明：如图2，在四面体ABCD中，设顶点A、B、C、D所对面的面积分别为：.只要证明，其他面积也有类似关系，于是问题得证。设面DBC、面DAC、面DAB与面ABC所成的角分别是，作DO⊥面ABC，垂足为O，过O作OE⊥BC，垂足为E，连结DE，则DE⊥BC，在中，同理： ∴.若把三角形三边关系定理类比到空间的角，则有下面的结论：定理3’四面体中，从同一顶点出发的三条棱，所形成的三个角，任意两个角的和大于第三个角，两个角的差小于第三个角。证明：如图3，假设四面体S−ABC的棱SA、SB、SC所成的三个角分别为，其中最大，若能证得问题即解决。在面ASC内作，并截取过点的平面交棱SC于.即证：2，显然≌.在中，又，即在和中，两边对应相等而第三边不等，从而有即通过上而的研究，我们认识到：平面中的线类比到空间，常常对应着空间的面，有时还对应着空间的角。因此，对平面几何的某一定理能否推广到空间去，我们首先应大胆猜想，然后再进行严格证明。G·波利亚说：“看到自然历史博物馆里各种各样哺乳动物的骨骼时，你可能觉得它们很可怕。如果你所发现的它们之间的类似之处仅限于此，那你就看不出多少类比性。你应该想到人的手，猫的前爪，马的前蹄……，这些器官虽然用途如此不同，但却是由具有相似关系的相似部分组成的。”事实上许多科学成果的发现或发明都是这样完成的。进一步探索还可得到以下一些结论，限于篇幅，证明过程留给读者。1.三角形重心的推广三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心，他把所在线段分成的比为2:1.这一结论类比到空间的相应结论是：四面体的4个顶点与各自所对的面的重心的连线(叫做四面体的中线)交于一点，这点叫做四面体的重心，它把所在线段分成两部分的比为3:1.2.三角形内心及内切圆的推广三角形的三个角的平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到三角形三条边的距离相等，都等于内切圆的半径。这一结论类比到空间的相应结论是：四面体的任两个面所成二面角的平分面交于一点，这点叫做四面体的内心，它是四面体的内切球的球心，它到四面体4个面的距离相等，都等于内切球的半径.3.三角形外心及外接圆的推广三角形各边的中垂线交于一点，这点叫做三角形的外心，它是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。这一结论类比到空间的相应结论是：四面体的各条棱的中垂面交于一点，这点叫做四面体的外心，它是四面体的外接球的球心，它到四面体4个顶点的距离相等，都等于外接球的半径.4.三角形角平分线性质的推广三角形的内角平分线分对边成两线段，这两线段长的比等于这个角两边的比...
