第三章 晶格振动与晶体的光学性质1VIP免费

第三章晶格振动与晶体的光学性质§3.1一维单原子链的振动一、运动方程及其解考虑一由同种原子组成的一维单原子链的振动。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t时刻第n个原子偏离其平衡位置的位移为n，如只考虑最近邻原子间的弹性相互作用，有11112nnnnnnnnfnn+1n+2n-1n-2nn+1n+2n-1n-2a其中为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原子的运动方程为112nnnmnitnaqAe试解——格波方程其中q为波数，na相当于将原点取在第0个原子的平衡位置时第n个原子的平衡位置，和A为常数。2112itnaqitnaqitnaqitnaqmAeAeAeAe222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得——色散关系二、格波的简约性质、简约区12sin2aqmqaa——简约区Aitnaqe格波：Aitxqe连续介质弹性波：qq'0q(q)-/a/a在简约区内，与q一一对应，称为q的主值范围。{格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。4a3a2aa从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中x是可以连续取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），这是一系列周期排列的点。由此可知，一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变2的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。1=4a，即q1=2/1=/2a；2=4a/5，即q2=2/2=5/2aq2-q2=2/a由图可以看出，由q1和q2所确定的各原子的相对位置是完全相同的，即这两个波数描述同一晶格振动状态。三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）nnN设晶体中原子总数为N，晶体链长为Na，所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：12nNN+1N+2N+nnaqtinqnNtiAeAe1iNaqe即：hNaq2h=整数这表明，引入周期性边界条件后，波数q不能任意取值，只能取分立的值。在q轴上，相邻两个q的取值相距，即在q轴上，每一个q的取值所占的空间为Na2Na2所以，q的分布密度为：22LNaqL＝Na为晶体链的长度。简约区中波数q的取值总数＝(q)·2/a＝(Na/2)·2/a＝N＝晶体链的原胞数晶格振动格波的总数=N·1=晶体链的自由度数。四、格波的简谐性、声子概念212nnTm晶体链的动能：2112nnnU晶体链的势能：2211122nnnnHm系统的总机械能：nitnaqAe频率为的特解：jjjjjj1,nqitnaqinaqAeQqteNm方程的一般解为：jjj这是n(t)在q空间中的Fourier展开式。将上式代入系统总机械能的表达式中，再利用线性变换系数的正交条件：,1qqninaqqeN即可将系统的总机械能化为：2**1,,,,2qHQqtQqtqQqtQqt运动方程：,,0QqtqQqtjj2j经变换后，Q(q,t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。一个波数为q的格波相当于一个频率为(q)的简谐振子，我们将晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的正则振动称为一种振动模式。对于由N个原子组成的一维单原子链，共有N种格波，即有N个振动模式，就相当于有N个独立的简谐振子。根据量子力学理论，简谐振子的能量是量子化的，第j个振动模式的简谐振子的能量本征值为：jjj12En声子的概念：声子是晶格振动的能量量子。声子具有能量，也具有准动量，它的行为类似于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。我们将这种具有粒子性...